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2024-2025学年河南省郑州四中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知，，则下列比例式中错误的是( )
A. B. C. D.
3.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏若小李同学同时转动盘和盘，她赢得游戏的概率是( )
A. B. C. D.
4.如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，与相交于点，则的面积与的面积的比为( )
A. ：
B.
C. ：
D.
6.如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定∽的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点沿过点的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
8.操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，正方形的边长为，为对角线上动点，过作于，于，连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图， 的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若，则的值为______．
12.初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共张，设全班共有人，根据题意，可列方程为______．
13.若线段的长为，是的黄金分割点，则的长为______．
14.如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是______．
15.如图，中，，，，点，分别为，上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点是点，若点始终在边上，当与相似时，的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解下列一元二次方程：
；
．
17.本小题分
某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程依次用，，，表示，为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动必选且只选一种”的问卷调查根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．
请根据统计图将下面的信息补充完整：
参加问卷调查的学生共有______人；
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数为______；
若该校共有学生名，请你估计该校全体学生中最喜欢课程的学生有多少人？
现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
19.本小题分
如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶在同一直线上．已知纸板的两条边，，延长交于点，测得边离地面的高度，，求树高．
20.本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，．
求证：四边形为矩形；
若菱形的边长为，，求的长．
21.本小题分
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月增长率；
若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
22.本小题分
在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，其中．
若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外？
答：______；直接填空，不用说理
在条件下，若四边形为矩形，求的值；
在条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．
23.本小题分
如图，在中，，点为边上的动点、交于点．
问题发现：如图，当时，______；与所在直线相交所成的锐角等于______．
类比探究：当时，把绕点逆时针旋转到如图的位置时，请求出的值以及与所在直线相交所成的锐角．
拓展应用：若，，点为边的中点，绕点逆时针旋转的过程中，当点、、三点在同一直线上时，请直接写出线段的长度．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.或
16.解：因式分解，得，
于是得，或，
，；
原方程可化为，
方法一：因式分解，得．
于是得，或，
，．
方法二：公式法：，，，
，
，
，．
17.．
．
扇形统计图中“”对应的百分比为，
扇形统计图中“”对应的百分比为，
人，
该校全体学生中最喜欢课程的学生约有人．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有种，
“恰好甲和丁同学被选到”的概率为．
18.解：由题知，
，
解得．
又，
所以的取值范围是且．
因为该方程有两个实数根分别为、，
所以，．
又，
即，
所以，
解得，
经检验是原方程的解．
又且，
所以．
19.解：，，
，，
∽，
，
即，
解得，
树高．
20.证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由得：四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
21.解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：不合题意，舍去，，
答：该品牌头盔的实际售价应定为元．
22.解：四边形是平行四边形；
连接，如图：
四边形是矩形，
，，，
在中，，，，
，
由可知：，分别是，中点，
，，
，
又，，
四边形是矩形，
，
根据题意可知：，
当四边形为矩形时，，
当、两点相遇前，，根据可得，解得；
当、两点相遇后，根据可得，解得；
综上所述，的值为或；
解：连接、，，与相交于点，如图所示：
四边形为菱形，
，，，
又，
，
，
又，
垂直平分线段，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得，，
，
点是从的中点出发，
为时，四边形为菱形．
23.，．
由图可知：∽，
，，
，，
∽，
，，
如图中，延长交于，交的延长线于．
，
，
即与所在的直线相交所成的锐角为．
如图中，当，，共线在的上方时，
在中，，，，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
，，
∽，
，
如图中，当，，共线在的下方时，
同法可得，
综上所述，的值为或．
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