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专题突破五：垂径定理实际应用（20道）
【应用题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（ ）
A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米
【答案】D
【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点．根据垂径定理、勾股定理求出圆的半径，进一步计算即可得．
【详解】解：如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长交圆O于点D和，连接，
由圆的性质可知，米，米，水面距管道底部的最大深度为的长，
设圆的半径为，
由垂径定理得：，，
在中，，即，
解得，
即水面距管道底部的最大深度为米，
故选：D．
2．在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为，若油面的宽，则油槽中油的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，根据垂径定理、勾股定理求出即可
【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，的延长线交于点C，连接，则，
在中，
∴
∴,
故选：A．
3．《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论．
【详解】解：，
（寸）．
设圆的半径为寸，则寸，
寸，
，
，
解得：．
圆柱形木材的直径是（寸）．
故选：C
4．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
【答案】A
【分析】过点O作，交于点D，交于点E，设的半径为r．在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：过点O作，交于点D，交于点E，
设的半径为r．
在中，，
由勾股定理得出方程，
解得：，
∴的直径为26寸，
故答案为：26．
5．唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
题意可得，
∵过圆心，且，
∴，
设该桨轮船轮子的半径为，则，，
∵在中，，
即，
解得，
∴该桨轮船轮子半径为.
故选：C．
6．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？
【答案】米
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解．
【详解】解：连接，交于点D，如图，
即，
∵点C为运行轨道的最低点，，
∴，，
由勾股定理，得，
即，
∴，
故点C到弦所在直线的距离是米．
8．如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
【答案】(1)2米；
(2)0.4米
【分析】此题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长至点，设的半径为米，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出的长，再求出的长即可．
【详解】（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于点，延长经过点，
则（米，
设的半径为米，在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过作于点，
则（米，米，
在中，（米，
（米，
（米，
即支撑杆的高度为0.4米．
9．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为．
(1)求圆弧形拱顶的半径的长度；
(2)求的长度．
【答案】(1)13m
(2)10m
【分析】本题考查了垂径定理的应用：
（1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可；
（2）利用勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）解：设与交于G，与交于H．
，，，，
，，，
设圆拱的半径为r，
在中，，
，
解得，
圆弧形拱顶的半径的长度为；
（2）解：，
，
在中，，
，
解得，
，
．
10．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？
【答案】(1)桥拱的半径是10米；
(2)水面涨高了2米．
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．
（1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出；
（2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，半径，，
设桥拱的半径是米，
，
（米，
拱高为4米，
米，
，
，
，
桥拱的半径是10米；
（2）解：，
（米，
（米，
（米，
（米，
水面涨高了2米．
11．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米．
(1)如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
(2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径；
(3)有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由．
【答案】(1)
(2)该圆弧所在圆的半径10米
(3)①在抛物线型上时，货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，货船能顺利通过该桥；见解析
【分析】本题主要考查二次函数的性质和垂径定理的应用以及勾股定理，
根据题意得，和，结合点A和点B设抛物线的解析式为，代入点C即可求得a；
设圆心为O，连接交于E点，连接，可得圆心距和半径之间关系，利用勾股定理即可求得半径；
当在抛物线型上时，当时，，由于，则判断货船不能顺利通过该桥；当在圆弧型时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于H点，连接，利用勾股定理求得，即可求得船顶距圆弧的距离，由于，则判断货船能顺利通过该桥．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设圆心为O，连接交于E点，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，解得，
则该圆弧所在圆的半径10米；
（3）①在抛物线型上时，当时，，
∵，
∴货船不能顺利通过该桥；
②在圆弧型时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于H点，连接，如上图，
则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴货船能顺利通过该桥．
12．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【答案】(1)该圆的半径为5米
(2)水面上涨的高度为1米
【分析】此题考查勾股定理，垂径定理．
（1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可；
（2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度．
【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆的半径为5米；
（2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面上涨的高度为（米）．
13．如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、
(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键，
（1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；
（2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径．
【详解】（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则
，，，
设， 则，
，
在中，，
∴，
，
解得，
∴拱门的圆弧半径为．
14．利用以下素材解决问题．
探索货船通过拱桥的方案
素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分
问题解决
任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径．
任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：）
任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【答案】任务1：；任务2：货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物；任务3：货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，勾股定理：
任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，先证明垂直平分，设圆O的半径为，则，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案；
任务2：当恰好为圆O的弦时，由垂径定理得到，则，可得，则货船能通过圆形拱桥，进而得到，则，则货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，设桥拱所在的抛物线解析式为，由勾股定理得，则，利用待定系数法求出桥拱所在的抛物线解析式为，在中，当时，，由于，则货船不能通过抛物线拱桥，根据，得到，则货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
【详解】解：任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴O、C、D三点共线，
设圆O的半径为，则，
由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴圆形桥拱的半径为
任务2：当恰好为圆O的弦时，
∵，，
∴（垂足为M），
∴，
∴，
∴，
∴货船能通过圆形拱桥，
∵，
∴，
∴最多还能卸载19吨货物，
∴货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
设桥拱所在的抛物线解析式为，
由勾股定理得，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴桥拱所在的抛物线解析式为，
在中，当时，，
∵，
∴货船不能通过抛物线拱桥，
∵，
∴，
∴至少要增加20吨货物才能通过
∴货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
15．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
【答案】(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案；
（2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案．
【详解】（1）解：，
如图，连接，
为圆心，，，
，
，
，
在中， ，
，
的长为；
（2）过作，连接，
由题得，，
在中，，
，
，
水面截线减少了．
16．如图1是一名考古学家发现的一块古代车轮的碎片．
(1)图2中的是车轮上大圆圆弧，用尺规作图法，找出，所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)图3中，若点O是（1）中找出的所在圆的圆心，C是上一点，且为等腰三角形，底边，腰，求车轮大圆的半径R．
【答案】(1)图形见解析
(2)车轮大圆的半径为
【分析】本题考查了圆心的确定尺规作图，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理；
（1）分别取弦，，作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点为圆心；
（2）连接，，，与的交点为，由等腰三角形的定义得，由圆的定义得，由线段垂直平分线的判定定理得，，由勾股定理得，，即可求解．
掌握线段垂直平分线的作法，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，
点即为所在圆的圆心．
（2）解：如图，连接，，，与的交点为．
，
为等腰三角形，为底边，
，
，，
，
在中，
，
在中，，
，
解得
车轮大圆的半径为．
17．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径；
(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．
【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米
(2)此时水面的宽度为米
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，设半径，在中，利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）根据勾股定理列式可得的长，最后由垂径定理可得结论．
【详解】（1）∵点是的中点，，
∴经过圆心，
设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接，
设半径，
在中，，
解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
（2）设与相交于点，连接，
∴，
∴，
在中，，
答：此时水面的宽度为米．
18．某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．

(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
【答案】(1)该圆弧所在圆的半径为5米
(2)支撑杆的高度为1米
【分析】此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用：
（1）根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，设的半径为米，则米．由垂径定理得到米．在中，由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；
（2）过点作于点，连，先求出，证明四边形为矩形，则．在中，，求出．根据四边形为矩形即可得到答案．
【详解】（1）垂直平分，
圆心在的延长线上．
设的半径为米，则米．
，
（米）．
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即该圆弧所在圆的半径为5米；
（2）过点作于点，连接．

，
．
∵，
∴四边形为矩形，
，
在中，．
，
．
．
即支撑杆的高度为1米．
19．如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度米，拱高米．

(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距离桥的一端点B的4米处欲立一桥墩支撑，求桥墩高度．
【答案】(1)米
(2)
【分析】（1）设该圆弧所在圆的半径为r，圆心为O，连接，求出，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；
（2）如图所示，连接，过作交延长线于Q，求出，由（1）得，证明四边形是矩形，得到，在中，由勾股定理得，则．
【详解】（1）解：设该圆弧所在圆的半径为r，圆心为O，连接，
由题意得，三点共线，且
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴该圆弧所在圆的半径为米；

（2）解：如图所示，连接，过作交延长线于Q，
由题意可得，，
∴，
由（1）得，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴桥墩高度为．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，

(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
(2)现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
【答案】(1)该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米
(2)此货船不能顺利通过这座桥
【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可；
（2）易得米，构造如图所示矩形，连接，推出米，根据勾股定理可得米，求出，再与米进行比较即可．
【详解】（1）解：连接，

∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米．
（2）解：∵米，，
∴米，
构造如图所示矩形，连接，
当时，
∵，
∴，
∴米，
根据勾股定理可得：米，
∴（米），
∵，
∴此货船不能顺利通过这座桥．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解得的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
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专题突破五：垂径定理实际应用（20道）
【应用题专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（ ）
A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米
2．在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为，若油面的宽，则油槽中油的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
4．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
5．唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（ ）
A． B． C． D．
6．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）

A． B． C． D．
7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？
8．如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
9．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为．
(1)求圆弧形拱顶的半径的长度；
(2)求的长度．
10．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？
11．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米．
(1)如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
(2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径；
(3)有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由．
12．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
13．如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、
(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径．
14．利用以下素材解决问题．
探索货船通过拱桥的方案
素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分
问题解决
任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径．
任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：）
任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
15．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
16．如图1是一名考古学家发现的一块古代车轮的碎片．
(1)图2中的是车轮上大圆圆弧，用尺规作图法，找出，所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)图3中，若点O是（1）中找出的所在圆的圆心，C是上一点，且为等腰三角形，底边，腰，求车轮大圆的半径R．
17．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径；
(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．
18．某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．

(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
19．如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度米，拱高米．

(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距离桥的一端点B的4米处欲立一桥墩支撑，求桥墩高度．
20．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，

(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
(2)现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
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