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绵阳市东辰学校初 2022 级 2024 年秋数学知识清扫（贯 1）
满分：150 分 时间：120 分钟
一．选择题（每题 3 分，共 36 分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1 6
A．x2﹣3x+3＝0 B．x2﹣xy＝2 C． 2 + = 2 D． = 5
2+4
2．用配方法解一元二次方程 2x2﹣5x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
5 33 5 41
A．( )2 = B．( )2 =
4 16 4 16
5 2 27 5 2 29C．( ) = D．( ) =
2 4 2 4
3．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣3m+1＝0 有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝﹣3
4．下列表格的对应值判断方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的取值范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.04 ﹣0.01 0.02 0.06
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
5．若实数 b，c 满足 c﹣b+2＝0，则关于 x 的方程 x2+bx+c＝0 根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为 p，两根之积为 q，则关于 y 的方程 a（y﹣2）2+b
（y﹣2）+c＝0 的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4
7．已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围
是（ ）
1 1 1 1
A．k＜ B．k＜ 且 k≠0 C．k＞ D．k＞ 且 k≠0
4 4 4 4
8．某公司年报显示，该公司 2023 年的利润为 6600 万元，受市场波动影响，2023 年利润增长率为 2022 年
利润增长率的一半，若该公司 2021 年的利润为 5000 万元，则该公司 2023 年利润增长率为（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
9．若关于 x的方程 x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形 ABC 的两边长，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．8 或 10
10．关于 x 的方程 x2﹣2mx+m2﹣4＝0 的两个根 x1，x2 满足 x1＝2x2+3，且 x1＞x2，则 m 的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
11．如图，M 是△ABC 三条角平分线的交点，过 M 作 DE⊥AM，分别交 AB、AC 于 D，E 两点，设 BD＝
a，DE＝b，CE＝c，关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根
12．已知 x，y 为实数，且满足 x2﹣xy+4y2＝4，记 u＝x2+xy+4y2 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m＝（ ）
40 64 136 31
A． B． C． D．
3 15 15 5
二．填空题（每题 4 分，共 24 分）
13．一元二次方程 x（x﹣3）＝x﹣3 的解是 ．
第1页（共4页）
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14．若关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣k＝0 的一个根为 1，则另一个根为 ．
15．若 x ，x 是方程 x21 2 +x﹣2024＝0 的两个实数根，则代数式 21 2 + 1的值为 ．
16．设关于 x的方程 x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m的取值是 ．
17．已知关于 x 的一元二次方程 ax2﹣（a+1）x﹣4＝0 的两根分别为 x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则
实数 a 的取值范围是 ．
18．若实数 a、b、c 满足，b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0，则 a 的取值范围是 ．
三．解答题（共 90 分）
19．（本题满分 10 分）解方程：（1）x2﹣4x＝7； （2）3x（2x+1）＝4x+2．

20．（本题满分 10 分）如图，一次函数 y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 y= （k≠0）的图象在第一

象限交于点 A，B，且该一次函数的图象与 y 轴正半轴交于点 C，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别
为 E，D，且 S△BOD＝2．已知 A（n，1），AE＝4BD．
（1）填空：n＝ ；k＝ ；
（2）求 B 点的坐标和一次函数的解析式；
（3）将直线 AB 向下平移 m（m＞0）个单位，使它与反比例函数图象有唯一交点，求 m 的值．
21．（本题满分 10 分）某网店热销夏季运动衫，进价每件 42 元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售
价为 54 元时，平均每月售出 800 件；若销售单价每下降 1 元，其月销售量就增加 100 件；设销售单价
下降 x 元，每天销售量为 y 件．
（1）y 与 x 的函数关系式是 ．
（2）该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为 9900 元，求每件运动衫的
售价．
第2页（共4页）
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22．（本题满分 10 分）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难
1 1 1
以解决的问题找到简便解决方法，例如，ab＝1，求证： + = 1．证明：左边= + =
1+ 1+ + 1+
1
+ = 1 =右边．
1+ 1+
1
阅读材料二：第 24 届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为 a，b，则面积为 ，四个直角三角
2
形面积和小于正方形的面积得：a2+b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取等号．在 a2+b2≥2ab 中，若 a＞0，b＞0，
+
用√ 、√ 代替 a，b 得， + ≥ 2√ ，即 ≥ √ ( )，我们把（*）式称为基本不等式．例如：在 x
2
1 √ 1 1 1 1＞0 的条件下， + ≥ 2 ，∴ + ≥ 2，当且仅当 = ，即 x＝1 时， + 有最小值，最小值为 2．

1 2
阅读材料三：正实数 a，b 满足 a+b＝1，求 + 的最小值？

1 2 1 2 2 2
其中一种解法是： + = ( + )( + ) = 1 + + + 2 ≥ 3 + 2√2，当且仅当 = 且 a+b＝1

时，即 = √2 1且 = 2 √2时取等号．
请同学们根据以上所学的知识解决下列问题．
1 +4√ +13
（1）若 x＞2，求 = + 的最小值 ；若 x≥0，求 = 的最小值 ．
2 √ +2
1 8
（2）已知 a＞0，b＞0 且 a+b＝1，求(1 + )(1 + )的最小值是？

1 1
（3）a＞0，b＞0，且 a+2b＝1，不等式 + ≥ 0恒成立，求 m 的范围？
2 +
（4）已知 a＞0，b＞0，且 a2b+3ab2＝3a+b，求 a+3b 的最小值？
23．（本题满分 15 分）如图，点 D 在△ABC 的 AC 边上，以 AD 为直径作△ABD 的外接圆，记为⊙O，∠
BAD＝∠CBD．
（1）若⊙O 的半径为 11，AB＝17，求 cos∠CBD 的值；
（2）求证：BC 是⊙O 的切线；
√15
（3）已知 BF 平分∠ABD，交 AD 于点 E，交⊙O 于点 F．若 ∠ = ，CD＝3OD， = 5√3，5
求 BE BF 的值．
第3页（共4页）
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1 3
24．（本题满分 15 分）如图，抛物线 = 2 + + 与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），
2 2
与 y 轴交于点 C（0，2），连接 AC，BC．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）点 D 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 D 作 x 轴的垂线 l，交线段 BC 于点 E，求当线段
DE 最长时点 D 的坐标；
（3）点 P 为抛物线上的一个动点，连接 AP．试探究：在点 P 运动的过程中，是否存在点 P，使得∠
PCB＝∠ACO？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本题满分 20 分）（1）如图 1，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB；
1
（2）如图 2，在菱形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，DC 上的点，且∠EAF= ∠BAD，射线 AE 交 DC 的
2
延长线于点 M，射线 AF 交 BC 的延长线于点 N．若 AF＝4，CF＝2，AM＝10．
求：①CM 的长；②FN 的长；
（3）如图 3，在菱形 ABCD 中，AB＝4，∠B＝60°，点 E 为 AD 的中点，在平面内存在点 F，且满足
FE＝1，以 AF 为一边作△FAP（顶点 F、A、P 按逆时针排列），使得 AP＝2AF，且∠FAP＝120°，求
2PD+PC 的最小值．
第4页（共4页）
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