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第2课时　双曲线的几何性质的综合问题
【学习目标】
　　理解双曲线的离心率、渐近线.
【课前预习】
◆ 知识点一　双曲线的离心率
我们把叫作双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率,用e表示.因为c>a>0,所以e=>1.决定双曲线的开口大小,越大,双曲线的开口就越大.因为===,所以　　　　,e也　　　　,从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
双曲线的离心率越大,双曲线的开口越大. (　 )
2.椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同
◆ 知识点二　双曲线的渐近线
一般地,直线y=x和y=-x称为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线.
直线y=x和y=-x称为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的渐近线相同. (　 )
2.当双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗
【课中探究】
◆ 探究点一　双曲线的离心率
例1 (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的3倍,则C的离心率为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知A,B分别为焦点在x轴上的双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且△ABM的顶角为120°,则E的离心率为 (　 )
A. B.2 C. D.
变式 (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线C上存在点P(不是顶点),使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则C的离心率的取值范围为 (　 )
A.(,2) B.(,+∞)
C.(1,] D.(1,]
(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且双曲线上存在点P,使|PF1|=2|PF2|,求双曲线离心率的取值范围.
[素养小结]
求双曲线离心率的值或取值范围的方法:
(1)求a,b,c的值,由e2===1+或e=直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
拓展 设F1,F2分别是双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点,若点F2满足·<0,则双曲线的离心率e的取值范围是 (　 )
A.1B.e>+1
C.1D.e>
◆ 探究点二　双曲线的渐近线
例2 (1)双曲线2x2-y2=-8的渐近线方程是 (　 )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±x
D.y=±x
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的一条渐近线的方程为 (　 )
A.x-y=0
B.x-y=0
C.x-y=0
D.x-y=0
变式 (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其两条渐近线的夹角为　　　　.
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±y=0,其焦点到渐近线的距离为2,则此双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　.
[素养小结]
对于双曲线的渐近线,有下面两种考查方式:
(1)已知双曲线的方程求其渐近线方程;
(2)给出双曲线的渐近线方程求双曲线的方程,由渐近线方程可确定a,b的关系,结合已知条件可解.
拓展 过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点F作C的一条渐近线的垂线l,垂足为M,l与C的另一条渐近线交于点N,且+=0,则C的渐近线方程为 (　 )
A.2x±y=0
B.x±y=0
C.x±y=0
D.x±y=0
◆ 探究点三　与双曲线有关的轨迹问题
例3 (1)已知P是圆F1:(x+3)2+y2=16上的一个动点,点F2(3,0),线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q,则点Q的轨迹方程为 (　 )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1(x>0)
(2)已知M(-2,0),圆C:x2-4x+y2=0,动圆P经过M点且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是 (　 )
A.x2-=1(x≥1)
B.-y2=1(x≥)
C.x2-=1
D.-y2=1
变式 动圆M截直线x-3y=0和3x-y=0所得的弦长分别为8,4,则动圆圆心M的轨迹是 (　 )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
[素养小结]
求与双曲线有关的轨迹方程常用下列方法:1.待定系数法;2.直译法;3.定义法;4.相关点法.
第2课时　双曲线的几何性质的综合问题
【课前预习】
知识点一
越大　越大
诊断分析 1.√
2.解:不相同.双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞);椭圆的离心率的取值范围是(0,1).
知识点二
诊断分析 1.×
2.解:不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应无数条双曲线,且其焦点可能在x轴上,也可能在y轴上.
【课中探究】
例1　(1)B　(2)D　[解析] (1)由题可知a=3b,所以e2=1+=,所以e=.故选B.
(2)由题意可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),不妨设M在双曲线-=1(a>0,b>0)的左支上,则∠MAB=120°,|MA|=|AB|=2a.过点M作MN⊥x轴,垂足为N,在Rt△AMN中,|AN|=|AM|=a,|MN|=a,∴点M的坐标为(-2a,a),代入双曲线方程得4-=1,则a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,∴e=,故选D.
变式　(1)A　[解析] 设PF1与y轴交于点Q,连接QF2,则|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1,因为∠PF2F1=3∠PF1F2,所以点P在双曲线的右支上,且易知∠PF2Q=2∠PF1F2=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|,可得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a.在Rt△QOF1中(其中O为坐标原点),|QF1|>|OF1|,即2a>c,故e=<2.由∠PF2F1=3∠PF1F2,且三角形内角和为180°,得∠PF1F2<=45°,则cos∠PF1F2=>cos 45°,即>,即e=>,所以C的离心率的取值范围为(,2).故选A.
(2)解:设A为双曲线的右顶点,O为坐标原点,∵在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|-|PF2|=2|PF2|-|PF2|=|PF2|=2a,即在双曲线右支上存在点P,使得|PF2|=2a,可得|AF2|≤2a,∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a,∴c≤3a.又∵c>a,∴a拓展　B　[解析] ∵·<0, ∴||·||·cos∠AF2B<0,∴∠AF2B为钝角,∴<∠AF2F1<,∴tan∠AF2F1>1,∴>1,又∵|AF1|=,|F1F2|=2c,∴>1,∴c2-a2>2ac,∴e>+1或e<1-(舍去).故选B.
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)方程2x2-y2=-8可化为-=1,则a=2,b=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C.
(2)因为C的离心率e==,所以=,所以渐近线的方程为x±y=0.故选B.
变式　(1)　(2)x2-=1或-=1　[解析] (1)因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,所以e==,所以=1,即=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以两条渐近线的夹角为.
(2)因为渐近线方程为2x±y=0,所以可设双曲线的方程为4x2-y2=λ(λ≠0).当λ>0时,方程可化为-=1,此时双曲线焦点为,则焦点到渐近线的距离为=2,得λ=4,则双曲线的标准方程为x2-=1.当λ<0时,方程可化为-=1,此时双曲线焦点为,则焦点到渐近线的距离为=2,解得λ=-16,则双曲线的标准方程为-=1.所以此双曲线的标准方程为x2-=1或-=1.
拓展　B　[解析] 设双曲线的右焦点为F1,O为坐标原点,则OM,ON为双曲线的两条渐近线.由题意知,FM⊥OM,因为+=0,所以M为线段FN的中点,则△FON为等腰三角形,则∠FOM=∠NOM,又∠FOM=∠F1ON,所以∠FOM=,所以双曲线的渐近线方程为x±y=0.故选B.
例3　(1)C　(2)C　[解析] (1)由题可知圆F1的圆心为F1(-3,0),|PF1|=4,F2(3,0),∵线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q,∴|QP|=|QF2|,∴||QF1|-|QF2||=||QF1|-|QP||=|PF1|=4,又|F1F2|=6>4,∴点Q的轨迹为以F1,F2为焦点且实轴长为4的双曲线,则a=2,c=3,∴b=,∴点Q的轨迹方程为-=1.故选C.
(2)由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=4,则圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,设动圆P的半径为R.若动圆P与圆C相内切,则圆C在圆P内,所以|PM|=R,|PC|=R-2,所以|PM|-|PC|=2<|MC|=4,所以动点P是以M(-2,0),C(2,0)为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=2,所以b==,所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1(x≥1).若动圆P与圆C相外切,则|PM|=R,|PC|=R+2,所以|PC|-|PM|=2<|MC|=4,所以动点P是以M(-2,0),C(2,0)为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=2,所以b==,所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1(x≤-1).综上可得,动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1.故选C.
变式　C　[解析] 设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,则点M到直线x-3y=0的距离d1=,点M到直线3x-y=0的距离d2=,则r2=+42=+22,即+42=+22,整理可得x2-y2=15,即-=1,故动圆圆心M的轨迹是双曲线.故选C.

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