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§2　圆与圆的方程
2.1　圆的标准方程
第1课时　圆的标准方程
【学习目标】
　　回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程.
【课前预习】
◆ 知识点一　圆的标准方程
1.圆的标准方程的表示
圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是　　　　　　　　　　　.
　　　　和　　　　分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.
2.几种常见的特殊的圆的方程
条件 方程形式
圆心在原点 x2+y2=r2(r>0)
圆过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)
圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)
圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)
圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示圆. (　 )
(2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),则该圆的圆心为(a,b),半径为m. (　 )
(3)圆心是原点的圆的标准方程是x2+y2=r2(r>0). (　 )
(4)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0. (　 )
◆ 知识点二　点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法如下:
位置关系 利用点到圆心的距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　r2
点M在圆外 |CM|　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　r2
点M在圆内 |CM|　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　r2
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)点P(1,3)在圆x2+y2=24上. (　 )
(2)点(2,2)在圆(x-1)2+(y+2)2=1外. (　 )
2.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的内部,求实数m的取值范围.
【课中探究】
◆ 探究点一　圆的标准方程的判断
例1 (1)圆(x+2)2+(y-3)2=2的圆心和半径分别是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(2,3), B.(-2,-3),2
C.(2,3),1 D.(-2,3),
(2)下面方程为圆的标准方程的是 (　 )
A.(x+2)2+(y-1)2=-1
B.(x-4)2+(y+5)2=log2
C.(x-π)2+(y+e)2=0.01
D.(x-1)2+(y-1)2=k2
变式 下面方程为圆的标准方程的是 (　 )
A.(x-1)2+(x+3)2=3
B.(x-1)2+(y-1)2=a
C.x2+y2-2x+2=0
D. y2+(x-1)2=1
[素养小结]
对圆的标准方程的认识:左边是平方和结构,即(x-a)2+(y-b)2,右边是一个正数.
◆ 探究点二　求圆的标准方程
例2 (1)圆心为原点,半径是5的圆的标准方程为　　　　　　　　.
(2)圆心为点C(2,1),半径是的圆的标准方程为　　　　　　　　.
(3)经过原点和点(3,-1)且圆心在直线3x+y-5=0上的圆的标准方程为　.
变式 (1)直线+=1与x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为直径的圆的标准方程为 (　 )
A.(x-2)2+(y-1)2=4
B.(x-2)2+(y-1)2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=4
D.(x-1)2+(y-2)2=5
(2)过点A(1,-2),B(3,4)且周长最小的圆的标准方程为　　　　　　　　.
[素养小结]
利用待定系数法确定圆的标准方程
由三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);
②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解——解方程组,求出a,b,r;
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的标准方程.
◆ 探究点三　点与圆的位置关系
例3 已知点A(1,0),B(1,2)与圆O:x2+y2=4,则 (　 )
A.点A与点B都在圆O外
B.点A在圆O外,点B在圆O内
C.点A在圆O内,点B在圆O外
D.点A与点B都在圆O内
变式 若点(1,1)在圆(x-a)2+y2=5的内部,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-1,3)
B.(-2,2)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
[素养小结]
(1)判断点与圆的位置关系的方法
①计算该点与圆的圆心之间的距离,与半径作比较即可;
②把点的坐标代入圆的标准方程,判断等式两边的大小关系,并作出判断.
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围或大小.
拓展 [2024·山东烟台高二期中] 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2上总存在两个点到原点的距离为2,则圆C的半径r的取值范围是 (　 )
A.(3,5) B.(5,7)
C.(3,7) D.(3,+∞)
§2　圆与圆的方程
2.1　圆的标准方程
第1课时　圆的标准方程
【课前预习】
知识点一
1.(x-a)2+(y-b)2=r2　圆心　半径
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
知识点二
=　=　>　>　<　<
诊断分析 1.(1)×　(2)√
2.解:因为P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的内部,所以(1+2)2+(-1)210,即m的取值范围为(10,+∞).
【课中探究】
例1　(1)D　(2)C　变式　D
例2　(1)x2+y2=25　(2)(x-2)2+(y-1)2=3　(3)+y2=　[解析] (3)设该圆的圆心为C(a,5-3a),因为该圆经过原点和点(3,-1),所以=,解得a=,可得C,则该圆的半径为=,故所求圆的标准方程为+y2=.
变式　(1)B　(2)(x-2)2+(y-1)2=10　[解析] (1)因为直线+=1在x轴、y轴上的截距分别为4,2,所以A(4,0),B(0,2),所以线段AB的中点坐标为(2,1),且圆的半径r=|AB|=×=,故以线段AB为直径的圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.故选B.
(2)连接AB,当圆以线段AB为直径时,圆的周长最小,此时,线段AB的中点(2,1)即为圆心,因为|AB|==2,所以圆的半径r=,所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
例3　C
变式　A　[解析] 因为点(1,1)在圆(x-a)2+y2=5的内部,所以(1-a)2+12<5,解得-1拓展　C　[解析] 由圆心为C(3,4),得原点与C(3,4)之间的距离d=5.因为总存在两个点到原点的距离为2,所以若原点在圆外,则可得3

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