资源简介

第2课时　圆的标准方程的综合应用
【学习目标】
　　理解圆的几何性质.
【课前预习】
◆ 知识点　圆的简单几何性质
由圆的方程x2+y2=r2(r>0),可得圆的简单几何性质:
(1)范围
由方程x2+y2=r2可得圆上任意一点P(x,y)都满足不等式|x|≤r,|y|≤r,这说明圆上的所有点都在两条平行直线x=-r,x=r和两条平行直线y=-r,y=r围成的　　　　之间.
(2)对称性
根据方程x2+y2=r2的结构特点,可以发现:若点P的坐标(x,y)满足方程x2+y2=r2,则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点　　　　,　　　　,　　　　的坐标也都满足方程x2+y2=r2,这说明圆x2+y2=r2既是关于　　　　和　　　　的轴对称图形,也是关于　　　　的中心对称图形.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上任意一点P的坐标(x,y)都满足不等式|x|≤r,|y|≤r. (　 )
(2)若圆关于直线对称,则直线一定过该圆的圆心. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　与直线相关的圆的标准方程
例1 过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(x-1)2+(y-1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-3)2+(y+1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
变式 已知圆C的圆心在直线y=x上,且与y轴相切于点(0,5),则圆C的标准方程是 (　 )
A.(x+5)2+(y-5)2=25
B.(x-5)2+(y-5)2=25
C.(x-5)2+(y-5)2=5
D.(x+5)2+(y-5)2=5
[素养小结]
求具备一定条件的圆的方程时,关键是确定圆的两个几何要素,即圆心和半径,常用待定系数法.在一些问题中借助圆的平面几何知识可以简化计算,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用.
◆ 探究点二　圆的简单几何性质
例2 (1)已知实数x,y满足方程(x+4)2+(y-2)2=4,则x的最大值为 (　 )
A.3 B.2
C.-1 D.-2
(2)在平面直角坐标系xOy中,P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,若A(-a,0),B(a,0),a≠0,则|+|的最大值为　　　　.
变式 设点P(x,y)是圆C:x2+(y-2)2=1上的动点,定点A(1,0),B(-1,0),则·的最大值为　　　　.
[素养小结]
在解决与圆有关的问题时,借助于圆的几何性质,往往可以简化思路,简便运算.
◆ 探究点三　与圆有关的最值问题
例3 已知点(x,y)在曲线(x-2)2+y2=1上,则的最大值是 (　 )
A.6 B.25
C.26 D.36
变式 一束光线从点A(-1,1)射出,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是(　 )
A.4 B.2
C.5 D.6
[素养小结]
求解与圆有关的长度或距离的最值问题时,一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.
拓展 [2024·山东泰安高二期中] 已知点(x,y)在曲线x-1=上,则的最大值,最小值分别为 (　 )
A.+2,-2
B.+2,
C.,-2
D.,
第2课时　圆的标准方程的综合应用
【课前预习】
知识点
(1)正方形　(2)P1(x,-y)　P2(-x,y)　P3(-x,-y)
x轴　y轴　原点
诊断分析 (1)×　(2)√
【课中探究】
例1　A　[解析] 因为A(1,-1),B(-1,1),所以线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,所以线段AB的中垂线的斜率k=1,所以线段AB的中垂线的方程为y=x,即圆心在直线y=x上.又因为圆心在直线x+y-2=0上,所以由解得所以圆心坐标为(1,1),圆的半径r==2,所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选A.
变式　B　[解析] 设圆心C的坐标为(a,a),点A的坐标为(0,5),连接AC,由于圆C与y轴相切于点A(0,5),所以AC⊥y轴,可得a=5,所以圆心C的坐标为(5,5),圆C的半径为|AC|=5,因此,圆C的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25.故选B.
例2　(1)D　(2)12　[解析] (1)由题可知,点(x,y)为圆(x+4)2+(y-2)2=4上的点,圆心坐标为(-4,2),半径r=2,则-6≤x≤-2,即x的最大值是-2,故选D.
(2)易知|+|=2||,且||max=|OC|+1=+1=6,所以|+|max=12.
变式　8　[解析] 因为点P(x,y)在圆C上,所以x2+(y-2)2=1,则x2=1-(y-2)2,且1≤y≤3.因为=(1-x,-y),=(-1-x,-y),所以·=x2-1+y2=-(y-2)2+y2=4y-4,由1≤y≤3,得0≤4y-4≤8,即·的最大值为8.
例3　A　[解析] d=表示圆(x-2)2+y2=1上的点到点(5,-4)的距离,所以d的最大值为圆心(2,0)到点(5,-4)的距离加上半径1,故dmax=+1=6.故选A.
变式　A　[解析] 点A(-1,1)关于x轴的对称点为B(-1,-1),圆C的圆心为C(2,3),半径r=1,连接BC,所以最短路程是|BC|-1=-1=5-1=4.故选A.
拓展　B　[解析] 由x-1=,可得(x-1)2+y2=4(x≥1),此方程表示的曲线是以A(1,0)为圆心,2为半径的圆的右半部分,设点B在第一象限,且AB⊥x轴,垂足为A,交该半圆于点B.显然表示点P(0,4)与此半圆上的点的距离,其最大值为|PA|+2,最小值为|PB|,易知B(1,2),|PB|==,|PA|==,所以的最大值为+2,最小值为.故选B.

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