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第二章　圆锥曲线
§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
【学习目标】
　　1.了解椭圆的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.3.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
【课前预习】
◆ 知识点一　椭圆的定义
1.平面内到两个定点F1,F2的距离之　　　等于常数(　　　　　　)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作　　　　　,两个焦点间的距离|F1F2|叫作　　　　　　　.
2.椭圆的定义中提到的“常数”常用　　　　表示,焦距常用　　　　表示.设点M为椭圆上任意一点,则椭圆的定义的数学表达式为　　　　　　　　　　　　.
3.椭圆定义的三个要点:
(1)在平面内,F1,F2是两个　　　　;
(2)|MF1|+|MF2|为　　　　;
(3)定长2a　　　　|F1F2|.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到点F1,F2的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆. (　 )
(2)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到点F1,F2的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆. (　 )
(3)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆. (　 )
◆ 知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 　　　　　　　 　　　　　　　
图形
(续表)
焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点及坐标 　　　　　 　　　　　
a,b,c的关系 　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆的焦点只能在坐标轴上. (　 )
(2)方程+=1(m>0,n>0)不一定表示椭圆. (　 )
(3)两种椭圆的标准方程中,有时a>b>0,有时b>a>0. (　 )
◆ 知识点三　点和椭圆的位置关系
点P(x0,y0)与焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)的关系如下:
点P(x0,y0)在椭圆+=1上的充要条件是　　　　　　;
点P(x0,y0)在椭圆+=1内部的充要条件是　　　　　　;
点P(x0,y0)在椭圆+=1外部的充要条件是　　　　　　.
点P(x0,y0)与焦点在y轴上的椭圆+=1(a>b>0)的关系有类似的结论.
【诊断分析】 探索不在椭圆上的点到两焦点的距离之和与2a的大小关系.
【课中探究】
◆ 探究点一　椭圆的定义
例1 (1)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a2-2a+7(a∈R),则动点P的轨迹是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.圆
(2)(多选题)下列说法中错误的是 (　 )
A.已知F1(-4,0),F2(4,0),则平面内到F1,F2的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.已知F1(-4,0),F2(4,0),则平面内到F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆
变式 已知动圆P过点M(-2,0),且与圆N:x2+y2-4x-28=0相切,则圆心P的轨迹是什么
[素养小结]
椭圆上一点P与该椭圆的两个焦点F1,F2构成的△F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积的问题,若已知∠F1PF2,则可利用公式S=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2.具体求解时可把|PF1|·|PF2|看成一个整体,利用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|的值,这样可以减少运算量.
拓展 已知M为圆P:(x+2)2+y2=36上的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N,则点N的轨迹为 (　 )
A.线段 B.直线
C.圆 D.椭圆
◆ 探究点二　椭圆的标准方程
例2 (1)已知椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,且椭圆经过点P(2,),同时|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,则椭圆的标准方程为 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
①椭圆两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
②椭圆的焦点在x轴上,且a∶b=2∶1,c=.
变式 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆经过点(2,-),;
(2)椭圆过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点.
[素养小结]
确定椭圆方程过程中的“定位”与“定量”
提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
拓展 当3◆ 探究点三　点和椭圆的位置关系
例3 求证点A(bcos θ,asin θ)(0≤θ<2π)在椭圆+=1上.
变式 若点A(1,m)在椭圆C:+=1的内部,则实数m的取值范围是　　　　.
[素养小结]
在判断点与椭圆的位置关系时,可以类比点与圆的三种位置关系.
1.1　椭圆及其标准方程
【课前预习】
知识点一
1.和　大于|F1F2|　椭圆的焦点　椭圆的焦距
2.2a　2c　|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)　
3.(1)定点　(2)定长　(3)>
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√
知识点二
+=1(a>b>0)　+=1(a>b>0)　F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　b2=a2-c2
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　
知识点三
+=1　+<1　+>1
诊断分析
解:到两焦点距离之和大于2a的点在椭圆外;到两焦点距离之和小于2a的点在椭圆内.
【课中探究】
例1　(1)C　(2)ABD　[解析] (1)由F1(0,-3),F2(0,3),得|F1F2|=6,因为a2-2a+7=(a-1)2+6≥|F1F2|=6,所以动点P满足条件|PF1|+|PF2|=|F1F2|或|PF1|+|PF2|>|F1F2|,所以动点P的轨迹是线段或椭圆.故选C.
(2)对于A,|F1F2|=8,则平面内到F1,F2的距离之和等于8的点的轨迹是线段,所以A中说法错误;对于B,因为|F1F2|=8,且到F1,F2的距离之和等于6<8,所以这样的点的轨迹不存在,所以B中说法错误;对于C,点M(5,3)到F1,F2的距离之和为+=4>|F1F2|=8,则点的轨迹是椭圆,所以C中说法正确;对于D,该轨迹应是线段F1F2的垂直平分线,所以D中说法错误.故选ABD.
变式　解:由题意知,圆N的标准方程为(x-2)2+y2=32,
因为(-2-2)2+02=16<32,所以点M在圆N内,于是圆P与圆N内切,所以|PN|=4-|PM|,因此|PN|+|PM|=4>|MN|=4,所以动点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆.
拓展　D　[解析] 连接NQ,易知|NM|=|NQ|,因为|NP|+|NM|=6,所以|NP|+|NQ|=6>|PQ|=4,所以点N的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆.
例2　(1)A　[解析] 由题意可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则+=1(a>b>0)①,又|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,所以2a=4c,即a=2c②,因为a2-b2=c2③,所以由①②③得a2=8,b2=6,c2=2,所以椭圆的标准方程为+=1.故选A.
(2)解:①∵椭圆的焦点在x轴上,∴可设其标准方程为+=1(a>b>0).∵2a=+=10,∴a=5.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为+=1.
②∵c=,∴a2-b2=c2=6.由a∶b=2∶1,得a=2b,得4b2-b2=6,解得b2=2,∴a2=8.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为+=1.
变式　解:(1)方法一:若椭圆的焦点在x轴上,则设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.若椭圆的焦点在y轴上,则设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知条件得解得则a=2,b=2,与a>b>0矛盾,所以应舍去.
综上,所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二:设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).分别将(2,-),的坐标代入方程,得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)因为所求椭圆的焦点与椭圆+=1的焦点相同,所以所求椭圆的焦点在y轴上,且其焦距2c=2=8.
设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
因为2c=8,所以a2-b2=16①.
又点(,-)在椭圆上,所以+=1,
即+=1②.由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=1.
拓展　解:∵30且k-3>0.若9-k>k-3,即3例3　证明:将点A的坐标代入方程+=1中,得+=sin2θ+cos2θ=1,
所以点A(bcos θ,asin θ)(0≤θ<2π)在椭圆+=1上.
变式　　[解析] 由题意可知+<1,解得-

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