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1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
【学习目标】
　　1.掌握椭圆的简单几何性质.
　　2.了解椭圆标准方程中a,b,c,e的几何意义.
【课前预习】
◆ 知识点　椭圆的简单几何性质
1.椭圆的几何性质
标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
图形
(续表)
标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
性 质 焦点 　　　　　 　　　　　
焦距 |F1F2|=2c(c=)
范围 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
对称性 关于　　　　　　　　　对称
长轴 |A1A2|=2a,其中a为长半轴长
短轴 |B1B2|=2b,其中b为短半轴长
顶点 　　　　　 　　　　　
离心率 　　　(02.离心率对椭圆扁圆程度的影响
(1)离心率
椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率,用e表示,即　　　　,显然0(2)离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆的顶点一定在坐标轴上. (　 )
(2)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a.(　 )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. (　 )
(4)椭圆+=1比椭圆+=1更扁一些. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　椭圆的简单几何性质
例1 求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率:
(1)+=1;
(2)+=1;
(3)4x2+9y2=1.
变式 [2024·兰州一中高二期中] 已知椭圆x2+=2(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标.
[素养小结]
解决椭圆几何性质问题的方法是先将所给方程化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量.
◆ 探究点二　椭圆的简单几何性质的应用
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;
(2)椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且其焦距为8;
(3)椭圆经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同的离心率.
变式 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是26,cos∠OFA=,则椭圆的方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
[素养小结]
利用椭圆的几何性质求其标准方程的思路
(1)当利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:
①确定焦点的位置;
②设出相应椭圆的标准方程;
③根据已知条件列方程(组),常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.
(2)不能确定椭圆的焦点位置时,满足题意的椭圆的标准方程可能有两个.
提醒:与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为+=k1(k1>0,焦点在x轴上)或+=k2(k2>0,焦点在y轴上).
◆ 探究点三　椭圆的离心率
例3 (1)若一个椭圆的长轴长2a、短轴长2b和焦距2c满足2a+2c=2×2b,则该椭圆的离心率是 (　 )
A. B. C. D.
(2)如图,A,B,C分别为椭圆+=1(a>b>0)的左顶点、上顶点与右焦点,若∠ABC=90°,求该椭圆的离心率.
变式 (1)[2024·黄山高二期中] 已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1(a>b>0)上,边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点,且2|AB|=|BC|,则该椭圆的离心率为 (　 )
A.-1+ B.2-
C.-1+ D.2-
(2)已知椭圆C:+=1(a>b>0),其上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且△AF1F2为等边三角形,则椭圆C的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
[素养小结]
求椭圆离心率的值或范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c,可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的齐次关系式,借助a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
拓展 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,若椭圆上存在点P,使得∠A1PA2=120°,则椭圆C的离心率的取值范围为　　　　.
1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
【课前预习】
知识点
1.F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　-a≤x≤a,-b≤y≤b　-b≤x≤b,-a≤y≤a　x轴、y轴和原点
(±a,0),(0,±b)　(0,±a),(±b,0)　e=
2.(1)=e　(2)扁　圆
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【课中探究】
例1　解:(1)由椭圆方程+=1可知其焦点在y轴上,a=3,b=,则c=,所以该椭圆的长轴长为6,短轴长为2,焦距为2;上、下顶点坐标分别为(0,3),(0,-3),左、右顶点坐标分别为(-,0),(,0);上、下焦点坐标分别为(0,),(0,-),离心率e=.
(2)由椭圆方程+=1可知其焦点在x轴上,可得a=13,b=12,则c=5,所以该椭圆的长轴长为26,短轴长为24,焦距为10;上、下顶点坐标分别为(0,12),(0,-12),左、右顶点坐标分别为(-13,0),(13,0);左、右焦点坐标分别为(-5,0),(5,0),离心率e=.
(3)将椭圆方程4x2+9y2=1整理变形成标准方程可得+=1,易知其焦点在x轴上,可得a=,b=,则c=,所以该椭圆的长轴长为1,短轴长为,焦距为;上、下顶点坐标分别为,,左、右顶点坐标分别为,;左、右焦点坐标分别为,,离心率e==.
变式　解:由x2+=2整理得+=1.因为m>0,所以该椭圆的焦点在y轴上且a2=2(m+3),b2=2.
又因为e=,所以e2=1-=1-=,解得m=1,所以椭圆的方程为+=1,可得a=2,b=,则c==.所以椭圆的长轴长为4,焦距为2,焦点坐标为(0,±),上、下顶点坐标分别为(0,2),(0,-2),左、右顶点坐标分别为(-,0),(,0).
例2　解:(1)若椭圆的焦点在x轴上,则a=3,∵e==,∴c=,∴b2=a2-c2=9-6=3,∴椭圆的标准方程为+=1.若椭圆的焦点在y轴上,则b=3,由e=====,解得a2=27,∴椭圆的标准方程为+=1.综上,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2)由题意知椭圆的焦点在x轴上,可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).设该椭圆的一个焦点为F,O为坐标原点,短轴的两个端点分别为A1,A2,则△A1FA2为等腰直角三角形,易知OF为斜边A1A2的中线(高),则在△A1FA2中,|OF|=|OA1|=|OA2|,
∵|OF|=c,|A1A2|=2b,且椭圆的焦距为8,
∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(3)方法一:设+=1的离心率为e,所求椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,由题意知e2=1-=.
∵所求椭圆与椭圆+=1的离心率相同,
∴=,即a2=2b2,可设所求椭圆的标准方程为+=1或+=1,
将点M(1,2)的坐标代入椭圆的标准方程中,得+=1或+=1,解得b2=或b2=3.
故所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
方法二:由题意设所求椭圆的方程为+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),将点M的坐标代入可得+=k1,+=k2,解得k1=,k2=,故+=或+=,即所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
变式　D　[解析] 由cos∠OFA=知A是短轴的端点,∵长轴长是26,∴|FA|=13,即a=13,由cos∠OFA==,得c=5,∴b2=132-52=122=144,∴椭圆的方程为+=1或+=1.
例3　(1)C　[解析] 由2a+2c=2×2b,得a+c=2b,则(a+c)2=4b2=4(a2-c2),所以3a2-5c2=2ac,等号两边同时除以a2,整理得5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍去),故选C.
(2)解:设该椭圆的焦距为2c,由题意可得A(-a,0),B(0,b),C(c,0),
则kAB=,kCB=-,
因为∠ABC=90°,所以kAB·kBC=·=-1,
则b2=ac=a2-c2,整理可得e2+e-1=0,
解得e=,
又1>e>0,所以e=.
变式　(1)A　(2)A　[解析] (1)由椭圆方程知,当x=c时,y=±,所以|AB|=2c,|BC|=.因为2|AB|=|BC|,所以4c=,即2ac=b2=a2-c2,所以2e=1-e2,可得e=-1+,故选A.
(2)由题可知,椭圆C的离心率e==cos∠AF1F2=cos=.故选A.
拓展　　[解析] 易知当点P为椭圆与y轴的交点时,∠A1PA2最大,由题可知此时
∠A1PA2≥120°,即∠A2PO≥60°(O为坐标原点),则tan∠A2PO=≥tan 60°=,即a≥b,即a2≥3b2,即a2≥3(a2-c2),得2a2≤3c2,不等号两边同时除以a2得3e2≥2,又0

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