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第2课时　椭圆的几何性质的综合问题
【学习目标】
　　1.了解椭圆系方程的设法.
　　2.结合椭圆的定义,会用代数法、几何法求椭圆中的最值问题.
【课前预习】
◆ 知识点　两个椭圆的关系问题
1.共焦点的椭圆系方程
①与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆系方程为+=1(a>b>0,λ>-b2);
②与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆系方程为+=1(a>b>0,λ>-b2).
2.同离心率的椭圆系方程
①与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆系方程为+=λ(a>b>0,λ>0)或+=λ(a>b>0,λ>0);
②与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆系方程为+=λ(a>b>0,λ>0)或+=λ(a>b>0,λ>0).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率都与焦点所在的坐标轴有关. (　 )
(2)椭圆方程+=1(a>b>0)中的参数不能刻画椭圆的扁平程度,而能刻画椭圆的扁平程度. (　 )
(3)离心率相同的椭圆是同一个椭圆. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　两个椭圆的关系问题
例1 过点(-3,2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
变式 椭圆+=1与椭圆+=1(k<9且k≠0)的 (　 )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
[素养小结]
在求两个椭圆的关系问题时,常有两种思路:(1)由椭圆的几何性质来进行判断求解;(2)由椭圆系方程来判断求解.
◆ 探究点二　椭圆中的最值问题
例2 (1)已知焦点在x轴上的椭圆+=1,且a+c=4,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为(　 )
A.8 B.10
C.12 D.16
(2)已知椭圆的标准方程为+=1,则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离|OP|的取值范围为 (　 )
A.[6,10] B.[6,8]
C.[8,10] D.[16,20]
变式 设F1是椭圆+=1的左焦点,P为椭圆上任意一点,点Q的坐标为(-1,4),则|PQ|+|PF1|的最大值为　　　　.
[素养小结]
最值问题常涉及一些不等式.例如:在椭圆+=1(a>b>0)中,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0◆ 探究点三　与椭圆有关的轨迹问题
例3 已知面积为16的正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴和y轴上滑动,O为坐标原点,=+,则动点P的轨迹方程是 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
变式 (1)将圆x2+y2=4上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,所得曲线的方程是　　　　　　.
(2)已知圆x2+y2=12上的动点P在y轴上的射影为Q,O为坐标原点,动点M满足(1-)=-,则动点M的轨迹方程为　　　　　　.
[素养小结]
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法:
(1)直接法:直接法即根据所满足的几何条件,将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x,y的形式,即F(x,y)=0,然后进行等价变换,化简为f(x,y)=0.
(2)定义法:看所求动点的轨迹是否符合椭圆的定义,若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.
(3)相关点法:有些问题中的动点轨迹是由另一个动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.
拓展 在平面直角坐标系中,已知点A(0,2)与B(0,-2),动点M(x,y)满足直线AM,BM的斜率之积为-,则点M的轨迹方程为　　　　　　　　.
◆ 探究点四　椭圆简单几何性质的实际应用
例4 如图①,韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥,具有桩深、塔高、梁重、跨大的特点,它跨越了曲江区、浈江区、武江区,成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁,大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命.韶州大桥的桥塔外形近似椭圆,示意图如图②.若桥塔所在面截桥面所得线段记为AB,且AB过椭圆的下焦点,|AB|=44,桥塔最高点P到桥面的距离为110,则此椭圆的离心率为 (　 )
A. B. C. D.
变式 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,由F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知此椭圆的离心率为,且|F1F2|=5 cm,则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达另一个焦点时所经过的路程为 (　 )
A.9 cm B.10 cm
C.14 cm D.18 cm
[素养小结]
求解椭圆的实际应用问题的思路:
(1)通过数学抽象找出实际问题中的椭圆;
(2)建立适当的坐标系,通过椭圆的方程或几何性质解决实际问题.
第2课时　椭圆的几何性质的综合问题
【课前预习】
知识点
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×
【课中探究】
例1　A　[解析] 由题意知所求椭圆的焦点为(±,0),设其方程为+=1(a>),将点(-3,2)的坐标代入方程可得+=1,得a2=15,故所求椭圆的标准方程为+=1,故选A.
变式　D　[解析] 易知所以=16;所以=16=,则两椭圆的焦距相等,D正确.因为所以两椭圆的长轴长不相等,短轴长不相等,A,B错误.根据e=知,两椭圆的离心率不相等,C错误.故选D.
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)因为椭圆+=1的焦点在x轴上,所以a2=8+c2.由解得所以椭圆方程为+=1,则左焦点F(-1,0),右顶点A(3,0).设P(x0,y0),则+=1,所以=8,则·=(-1-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=-2x0-3+=-2x0-3+8-=-2x0+5=(x0-9)2-4,x0∈[-3,3],可知当x0=-3时,·取得最大值12.故选C.
(2)方法一:设点P(x0,y0),则|OP|=,且|x0|≤a=10,|y0|≤b=8.∵点P在椭圆上,∴+=1,则=64-,∴|OP|=.∵0≤≤100,∴64≤+64≤100,即8≤|OP|≤10.
方法二:设点P(x0,y0),其中x0=10cos θ,y0=8sin θ,θ∈[0,2π),则|OP|===,∵cos2θ∈[0,1],∴8≤|OP|≤10.故选C.
变式　11　[解析] 设该椭圆的右焦点为F2,连接PF2.因为+>1,所以点Q在椭圆外.由题意可得a=3,b=,c===2,所以F1(-2,0),F2(2,0),因为|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF1|+|PQ|=6-|PF2|+|PQ|≤6+|QF2|,当且仅当Q,F2,P三点共线,且F2在线段PQ上时,等号成立.因为|QF2|==5,所以|PF1|+|PQ|≤11.
例3　B　[解析] 设P(x,y),A(x1,0),B(0,y2),因为正方形ABCD的面积为16,所以|AB|=4,所以+=16.由=+,可得即则+(2y)2=16,整理得+=1.故选B.
变式　(1)+y2=1　(2)+=1　[解析] (1)设圆x2+y2=4上一点的坐标为(x,y),经变换后所对应点的坐标为(x',y'),因为圆x2+y2=4上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,所以即所以(x')2+(2y')2=4,即+y'2=1,所以所得曲线的方程为+y2=1.
(2)设M(x,y),P(x0,y0),则Q(0,y0).由(1-)=-,得=,则(-x0,0)=(-x,y0-y),可得因为点P(x,y)在圆x2+y2=12上,所以(x)2+y2=12,即+=1,所以动点M的轨迹方程为+=1.
拓展　+=1(x≠0)　[解析] ∵kAM·kBM=-,∴·=-,化简得+=1.当M位于y轴上时,直线AM,BM的斜率均不存在,不合题意,舍去.故点M的轨迹方程为+=1(x≠0).
例4　D　[解析] 取椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设椭圆方程为+=1(a>b>0),令y=-c,则+=1,解得x=±,依题意可得所以所以=,所以e==.故选D.
变式　A　[解析] 以F1F2所在直线为x轴,F1F2的中点为原点,建立平面直角坐标系.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆的离心率为,且|F1F2|=5 cm,所以e==,2c=5,可得a=,c=,所以由椭圆的定义得所求路程为2a=9(cm).故选A.

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