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2.2　圆的一般方程
【学习目标】
　　1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程.
　　2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.
【课前预习】
◆ 知识点　圆的一般方程
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)配方得　　　　　　　　　　　　　　　.
当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示以　　　　　　为圆心,　　　　　　　　为半径的圆,我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程.
(1)圆的一般方程的特点是:①x2,y2的系数都是　　　　;②不含　　　　这样的二次项;③D2+E2-4F　　　　0.
(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0并不一定表示圆,当其系数满足D2+E2-4F>0时,它表示　　　　;当D2+E2-4F=0时,它表示一个　　　　;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　 )
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　 )
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. (　 )
(4)在圆的一般方程中,当D=0时,圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的圆心在x轴上. (　 )
(5)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　圆的一般方程的判断
例1 下列方程各表示什么图形 若表示圆,求出其圆心和半径.
(1)x2+y2-4x=0;
(2)x2+y2-4x-2y+5=0;
(3)2x2+2y2-3x+4y+6=0.
例2 讨论方程x2+y2-2y+λ(x2+y2-2x)=0(λ为任意实数)所表示的曲线.
变式 (多选题)若方程x2+y2-ax+2ay+2a+1=0表示圆,则实数a的可能取值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.2 C.0 D.-2
[素养小结]
二元二次方程与圆的关系:
形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下方法:由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,若D2+E2-4F>0,则方程表示圆,否则不表示圆;也可将方程配方变形成“标准”形式后,利用公式写出圆心坐标,利用公式r=求出半径.
◆ 探究点二　求圆的一般方程
例3 已知圆M过点A(1,1),B(1,-2),C(3,-2),求圆M的方程.
变式 [2024·新疆伊犁高二期中] 圆C:x2+y2-6x+4y-12=0关于直线l:x-y-1=0对称的圆的一般方程为　　　　　　　　　.
[素养小结]
求圆的方程主要有两种方法:定义法和待定系数法.定义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径,从而得到圆的方程;待定系数法是列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F,从而得到圆的一般方程.
拓展 如图所示,四边形ABCD是一块草坪,其中AB=BC=2,∠ABC=120°,∠ADC=60°.现在要在草坪中的某个位置M建一个灯柱,要求M到草坪四个顶点A,B,C,D的距离都相等,则M到四个顶点的距离等于　　　　.
◆ 探究点三　圆的一般方程的综合问题
例4 (1)(多选题)已知圆C:x2+y2-4x-1=0,则下列说法正确的是 (　 )
A.圆C关于点(2,0)对称
B.圆C关于直线y=0对称
C.圆C关于直线x+3y-2=0对称
D.圆C关于直线x-y+2=0对称
(2)[2024·重庆万州高二期中] 若(2,1),(4,2),(3,4),(1,m)四点共圆,则m的值为 (　 )
A.2或3 B.或2
C.或3 D.或3
变式 (1)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为 (　 )
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
(2)已知圆C:x2+y2-4x-2y=m+1不经过第三象限,则实数m的最大值为　　　　.
[素养小结]
解决与圆有关的综合问题时,一定要结合圆的几何性质与代数关系特点,综合运用求解.
拓展 (多选题)已知圆C:x2+y2-4x+6y+11=0与点A(0,-5),则 (　 )
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A与圆C上任一点之间距离的最大值为3
D.点A与圆C上任一点之间距离的最小值为
2.2　圆的一般方程
【课前预习】
知识点
+=　
　(1)①1　②xy　③>　(2)圆　点
诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　
【课中探究】
例1　解:(1)因为(-4)2=16>0,
所以该方程表示圆,又-=2,-=0,
所以该圆的圆心为(2,0),半径r==2.
(2)因为(-4)2+(-2)2-4×5=16+4-20=0,
所以该方程表示点,又-=2,-=1,
所以该方程表示的点的坐标是(2,1).
(3)原方程可化为x2+y2-x+2y+3=0,
因为+22-3×4=+4-12<0,
所以该方程无实数解,方程不表示任何图形.
例2　解:方程x2+y2-2y+λ(x2+y2-2x)=0可化为 (λ+1)x2+(λ+1)y2-2λx-2y=0.
当λ+1=0,即 λ=-1时,原方程可化为y=x,此时该方程表示直线;当 λ+1≠0,即 λ≠-1时,原方程可化为+=,该方程表示以为圆心,以 为半径的圆.综上所述,当λ=-1时,方程表示直线x=y;当λ≠-1时,方程表示以 为圆心,以 为半径的圆.
变式　AD　[解析] 因为方程x2+y2-ax+2ay+2a+1=0表示圆,所以(-a)2+(2a)2-4(2a+1)>0,可得5a2-8a-4>0,即(5a+2)(a-2)>0,所以a<-或a>2.观察选项,只有4和-2符合题意.故选AD.
例3　解:设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以圆M的方程为x2+y2-4x+y+1=0.
变式　x2+y2+2x-4y-20=0　[解析] 方程x2+y2-6x+4y-12=0可化为(x-3)2+(y+2)2=25,故该圆的圆心坐标为(3,-2),半径为5.设对称圆的圆心坐标为(m,n),则点在直线l上,且两圆心所在直线与直线l垂直,所以--1=0,且=-1,可得m=-1,n=2.显然,对称圆的半径也为5,则所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,一般方程为x2+y2+2x-4y-20=0.
拓展　2　[解析] 因为∠ABC+∠ADC=180°,所以A,B,C,D四点共圆,则原问题转化为求四边形ABCD外接圆的半径.以点B为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-2,0),B(0,0),C(1,),设四边形ABCD外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将A,B,C三点的坐标代入求得D=2,E=-2,F=0,故外接圆的方程为x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-)2=4,所以外接圆的半径为2.故M到四个顶点的距离等于2.
例4　(1)ABC　(2)A　[解析] (1)方程x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,所以该圆的圆心坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是该圆的圆心,故A选项正确;圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故B选项正确;直线x+3y-2=0过圆心,故C选项正确;直线x-y+2=0不过圆心,故D选项不正确.故选ABC.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),则解得所以圆的方程为x2+y2-5x-5y+10=0.又点(1,m)在圆上,所以1+m2-5-5m+10=0,整理得m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.故选A.
变式　(1)D　(2)-1　[解析] (1)由题意,曲线C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2=4,因此曲线C是圆心为(-a,2a),半径为2的圆,∵曲线C上所有的点均在第二象限内,∴解得a>2,∴a的取值范围是(2,+∞),故选D.
(2)圆的方程可整理为(x-2)2+(y-1)2=m+6,则圆心C的坐标为(2,1),所以|OC|==(其中O为坐标原点).因为圆C不经过第三象限,所以≥>0,解得-6拓展　BCD　[解析] 依题意,圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=2,则圆心C(2,-3),半径r=,故A不正确;因为点A(0,-5),所以|AC|=2>r,即点A在圆C外,故B正确;由|AC|=2,r=,可得点A与圆C上任一点之间距离的最小值为,最大值为3,故C,D正确.故选BCD.

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