资源简介

§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
【学习目标】
　　1.了解双曲线的实际背景.
　　2.经历从具体情境中抽象出双曲线的过程.
　　3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
【课前预习】
◆ 知识点一　双曲线的定义
1.双曲线的定义:平面内到两个定点F1,F2的距离之　　　　　　等于常数(　　　　　　　　)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的　　　　.
2.设点M为双曲线上一点,则双曲线的定义的数学表达式为　　　　　　　　　　,焦距常用　　　　表示.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),满足条件|PF1|-|PF2|=5的动点P的轨迹是双曲线. (　 )
(2)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),满足条件||PF1|-|PF2||=6的动点P的轨迹是双曲线. (　 )
(3)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),满足条件||PF1|-|PF2||=7的动点P的轨迹是双曲线. (　 )
◆ 知识点二　双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图象
标准方程 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
(续表)
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 　　　　　 　　　　　
a,b,c的关系 　　　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于双曲线的标准方程,参数a,b,c中,最大的一定是c. (　 )
(2)方程-=1(mn>0)表示的曲线一定是双曲线. (　 )
(3)在双曲线方程-=1(a>0,b>0)中,必有a>b>0. (　 )
【课中探究】
◆探究点一　双曲线的定义
例1 (1)已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或a=5时,点P的轨迹分别为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.双曲线或一条直线
B.双曲线或两条直线
C.双曲线的一支或一条直线
D.双曲线的一支或一条射线
(2)[2024·内蒙古高二期中] 若双曲线C:-=1上的点P到左焦点的距离为9,则P到右焦点的距离为 (　 )
A.15 B.3
C.3或15 D.5或12
变式 (1)已知圆C1:(x+2)2+y2=,圆C2:(x-2)2+y2=,若动圆P与圆C1,C2都外切,则动圆的圆心P的轨迹是 (　 )
A.双曲线的一支 B.一条射线
C.椭圆 D.圆
(2)方程|-|=8化简后的结果是 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[素养小结]
双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,θ∈(0,π),因为|F1F2|=2c,所以有
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦定理:4c2=+-2r1r2cos θ.
(3)面积公式:=r1r2sin θ.
一般地,在△PF1F2中,利用以上三个等式,所求问题都会顺利解决.
拓展 已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点.
(1)若双曲线上一点M到双曲线的一个焦点的距离为16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)若P是双曲线左支上一点,且|PF1|·|PF2|=32,求△F1PF2的面积.
◆ 探究点二　双曲线的标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)b=4,双曲线的一个焦点的坐标是(-8,0);
(2)c=6,双曲线焦点在x轴上,且双曲线过点A(-5,2);
(3)双曲线经过点A(-7,-6),B(,-3).
变式 (1)a=4,c=6,且焦点在x轴上;
(2)经过点P(-3,2),Q(-6,-7).
[素养小结]
双曲线标准方程的两种求法:
(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为-=1或-=1(a>0,b>0),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.
特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1,注意标明条件mn<0.
◆ 探究点三　双曲线的实际问题
例3 某航天飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(分别记为A,B,C),A在B的正东方向上,A,B两地相距6千米,C在B的北偏西30°方向上,B,C两地相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.
变式 已知A,B两地相距600 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1 s,且声速为340 m/s.以线段AB的中点为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy,则炮弹爆炸点的轨迹方程为 (　 )
A.-=1(x<0)
B.-=1(x<0)
C.-=1(x>0)
D.-=1(x>0)
[素养小结]
利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下:
(1)建立适当的坐标系;
(2)求出双曲线的标准方程;
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.
注意:实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
【课前预习】
知识点一
1.差的绝对值　大于零且小于|F1F2|　焦距
2.||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|　2c
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×
知识点二
-=1(a>0,b>0)　-=1(a>0,b>0)
F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　c2=a2+b2
诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×
【课中探究】
例1　(1)D　(2)A　[解析] (1)易知|AB|=10,∵当a=3时,2a=6,∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).∵当a=5时,2a=10,∴点P的轨迹是以B为端点的一条射线.故选D.
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,则|PF1|=9.因为a=3,c==7,所以|PF1|变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)由题可得圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为.设动圆P与圆C1、圆C2外切的切点分别为A,B,则C1,A,P共线,C2,B,P共线,则|PC1|-|PC2|=|PA|+|AC1|-(|PB|+|BC2|),因为|PA|=|PB|,所以|PC1|-|PC2|=|AC1|-|BC2|=2,又|C1C2|=4>2,所以点P的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的右支.故选A.
(2)设P(x,y),A(-5,0),B(5,0),则由已知得||PA|-|PB||=8,即动点P到两个定点A,B的距离之差的绝对值等于常数8,又|AB|=10,且8<10,所以根据双曲线的定义知,动点P的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为8的双曲线.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则2a=8,2c=10,所以a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线的标准方程为-=1,即方程|-|=8化简后的结果是-=1.故选D.
拓展　解:因为双曲线的标准方程为-=1,所以a=3,b=4,c==5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,设点M到另一个焦点的距离为x,因为双曲线上一点M到双曲线的一个焦点的距离为16,所以|16-x|=6,解得x=10或x=22,故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)由题意知|PF2|-|PF1|=2a=6,将等号两边同时平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===0,且∠F1PF2∈(0°,180°),所以∠F1PF2=90°,故=|PF1|·|PF2|=×32=16.
例2　解:(1)由题意知,c=8,b=4,且双曲线的焦点在x轴上,
所以a2=c2-b2=48,
故所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为双曲线的焦点在x轴上,所以可设其标准方程为-=1(a>0,b>0).因为双曲线过点A(-5,2),所以-=1,又c2=a2+b2=36,所以a2=20,b2=16,因此,所求双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为双曲线经过点A(-7,-6),B(,-3),所以解得所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
变式　解:(1)根据题意可知,a2=16,b2=c2-a2=20,
又焦点在x轴上,∴双曲线的标准方程为-=1.
(2)依题意,设双曲线的方程为Ax2-By2=1(AB>0),
∵双曲线经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),
∴解得
故双曲线的标准方程为-=1.
例3　解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以点P在以A,B为焦点的双曲线的靠近A的那一支上.在A,B,C所在平面上,以线段AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2),由a=2,c=3得b2=9-4=5,所以点P所在双曲线右支的方程为-=1(x≥2)①,易知线段BC的垂直平分线的方程为x-y+7=0②.由①②得x=8,y=5,所以P(8,5),kPA=,所以点P在点A的北偏东30°方向上,即在A处发现P的方位角为30°.
变式　B　[解析] 设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则|PB|-|PA|=340×1=340<600,所以P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的左支.因为2a=340,所以a=170,又|AB|=600=2c,所以c=300,所以b2=c2-a2=90 000-28 900=61 100,故炮弹爆炸点的轨迹方程为-=1(x<0).故选B.

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