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2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
【学习目标】
　　1.了解双曲线的简单几何性质.
　　2.了解双曲线标准方程中a,b,c的几何意义.
【课前预习】
◆ 知识点一　双曲线的几何性质
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图象
(续表)
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
性 质 焦点 　　　　　 　　　　　
焦距 　　　 　　　
范围 　　　　　 　　　　　
对称性 关于　　　　　　　　对称
顶点 　　　 　　　
a,b,c的关系 　　　　　　　
实轴 两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长度等于2a,其中a叫作双曲线的实半轴长
虚轴 线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长度等于2b,其中b叫作双曲线的虚半轴长
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)双曲线-=1的焦点在y轴上. (　 )
(2)双曲线-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的形状相同. (　 )
(3)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与实轴及虚轴的交点. (　 )
◆ 知识点二　共焦点的双曲线系问题
1.与双曲线共焦点的双曲线系方程
(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线系方程为-=1(-a2<λ(2)与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线系方程为-=1(-a2<λ2.与椭圆共焦点的双曲线系方程
(1)与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程为-=1(a>b>0,b2<λ(2)与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程为-=1(a>b>0,b2<λ【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)双曲线-=1与双曲线-=1有相同的焦点. (　 )
(2)双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点. (　 )
(3)双曲线-=1与双曲线-=1有公共渐近线. (　 )
(4)已知双曲线-=1与双曲线-=1(0【课中探究】
◆ 探究点一　双曲线的简单几何性质
例1 (1)求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长.
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程.
①双曲线焦距为8,顶点坐标为(3,0),(-3,0);
②双曲线顶点坐标为(0,4),(0,-4),虚轴长为2;
③双曲线实轴长和虚轴长相等,且经过点(2,1).
变式 已知双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0),求该双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标.
[素养小结]
由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤:
(1)把双曲线方程化为标准形式,这是解题的关键;
(2)由标准方程确定焦点的位置,确定a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
提醒:在求双曲线的几何性质时一定要注意焦点的位置.
◆ 探究点二　双曲线的简单几何性质的应用
例2 (1)已知双曲线-=1(a>0)的虚轴长是实轴长的3倍,则实数a的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)在平面直角坐标系中,已知双曲线两顶点间的距离是6,其焦点在坐标轴上,两焦点的连线被两顶点和坐标原点四等分,则它的标准方程是 　　　　　　　　　.
变式 (1)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0)的两个焦点,若双曲线的左、右顶点和坐标原点把线段|F1F2|四等分,则该双曲线的焦距为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为,把称为黄金分割数.已知双曲线-=1(m>0)的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数,则m的值为 (　 )
A.2-2
B.+1
C.2
D.2
[素养小结]
运用双曲线的某些几何性质求参数的值,关键是设出双曲线方程的标准形式,再根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.
拓展 如图,从某个角度观察篮球,可以得到一个对称的平面图形,将篮球的外轮廓记为圆O,将篮球表面的黏合线视为坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分,|AB|=|BC|=|CD|=1,则该双曲线的焦距为 (　 )
A. B.
C.2 D.
◆ 探究点三　双曲线和椭圆的关系问题
例3 与椭圆+=1有相同焦点的曲线的方程可以是 (　 )
A.+=1
B.+=1
C.-=1
D.x2-3y2=3
变式 (1)双曲线-y2=1与椭圆+=1的焦点相同,则a等于 (　 )
A.1 B.-2
C.1或-2 D.2
(2)若曲线x2+=1的焦距为4,则实数m的值是　　　　.
[素养小结]
在求双曲线与椭圆的关系问题时,常常有两种思路:
1.由双曲线的几何性质来进行判断求解;
2.由双曲线系方程来判断求解.
拓展 (多选题)已知椭圆C1:+=1与双曲线C2:+=1(9A.C1的长轴长与C2的实轴长相等
B.C1的短轴长与C2的虚轴长相等
C.两曲线的焦距相等
D.两曲线的焦点坐标一样
2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
【课前预习】
知识点一
F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　2c　2c　x≤-a或x≥a,且y∈R　y≤-a或y≥a,且x∈R　x轴、y轴和原点　A1(-a,0),A2(a,0)　A1(0,-a),A2(0,a)　c2=a2+b2
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×
知识点二
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
【课中探究】
例1　解:(1)双曲线9y2-4x2=-36的标准方程是-=1,∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=.又双曲线的焦点在x轴上,∴其顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长为6,虚轴长为4.
(2)①因为双曲线的顶点坐标为(3,0),(-3,0),所以a=3,且双曲线的焦点在x轴上.因为双曲线的焦距为8,所以2c=8,则c=4.可得b2=c2-a2=7,所以双曲线的标准方程为-=1.
②因为双曲线的顶点坐标为(0,4),(0,-4),所以a=4,且双曲线的焦点在y轴上,因为双曲线的虚轴长为2,所以2b=2,则b=1.所以双曲线的标准方程为-x2=1.
③因为双曲线的实轴长和虚轴长相等,所以可设双曲线的方程为x2-y2=t(t≠0).因为双曲线经过点(2,1),所以22-12=t,即t=3,所以双曲线的方程为x2-y2=3,标准方程为-=1.
变式　解:双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的标准方程为-=1(m>0,n>0),由此可知,其焦点在x轴上,实半轴长为,虚半轴长为,c=,焦点坐标为(,0),(-,0),顶点坐标为(-,0),(,0).
例2　(1)A　(2)-=1或-=1　[解析] (1)由题意得2=3×2,解得a=.故选A.
(2)由双曲线两顶点间的距离是6得2a=6,即a=3.由两焦点的连线被两顶点和坐标原点四等分可得2c=4a=12,即c=6,所以b2=c2-a2=62-32=27.因为该双曲线的焦点所在的坐标轴不确定,所以所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)因为F1,F2是双曲线-=1(a>0)的两个焦点,且双曲线的左、右顶点和坐标原点把线段|F1F2|四等分,所以2c=4a,即c=2a,即c2=4a2,又因为c2=a2+3,所以所以c=2,所以该双曲线的焦距为2×2=4.故选D.
(2)由题意得,a2=(-1)2,b2=m,∴c2=a2+b2=(-1)2+m.∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数,∴==,∴=,则=,解得m=2-2.故选A.
拓展　C　[解析] 如图,以O为原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则该双曲线过点(,),且a=1,所以-=1,解得b2=2,所以c2=a2+b2=3,得c=,所以该双曲线的焦距为2,故选C.
例3　D　[解析] 易知椭圆+=1的焦点为(±2,0).对于A,椭圆的焦点坐标为(0,±2),A不符合题意;对于B,椭圆的焦点坐标为(±,0),B不符合题意;对于C,双曲线的焦点坐标为(±2,0),C不符合题意;对于D,双曲线方程可化为-y2=1,则其焦点坐标为(±2,0),D符合题意.故选D.
变式　(1)A　(2)5或-3　[解析] (1)依题意,双曲线-y2=1的焦点在x轴上,∴a+1>0,即a>-1,又∵双曲线-y2=1与椭圆+=1的焦点相同,∴(a+1)+1=4-a2,且0(2)由题意得c=2.当曲线为椭圆时,因为c2=4,所以a2>4,则a2=m,所以m-1=4,则m=5;当曲线为双曲线时,1+(-m)=4,则m=-3.综上实数m的值为5或-3.
拓展　AB　[解析] 由题意可知,椭圆C1的长轴长为8,短轴长为6,焦距为2=2.当90,9-k<0,则双曲线C2的焦点在x轴上,其实轴长为2,虚轴长为2,焦距为2=2,故C1的长轴长与C2的实轴长不相等,C1的短轴长与C2的虚轴长不相等,C1与C2的焦距相等,焦点坐标一样.故A,B中说法错误;C,D中说法正确.故选AB.

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