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2.3　直线与圆的位置关系
【学习目标】
　　1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
　　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【课前预习】
◆ 知识点　直线与圆的位置关系
一般地,已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆E:(x-a)2+(y-b)2=r2,则直线l与圆E的位置关系如下:
位置关系 相交 相切 相离
图形关系
公共点个数 　　　 　　 　　　
几 何 法 计算圆心到直线的距离:d= 　　 d=r 　　　
代 数 法 由 消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ 　　 　　 Δ<0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过圆外一点可作两条该圆的切线. (　 )
(2)已知一条直线与圆相交,当这条直线被圆截得的弦最长时,这条直线过圆心. (　 )
(3)过半径外端(圆上的端点)的直线与圆相切. (　 )
(4)若C为圆O内一点,则过点C的直线与圆O相交. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　直线与圆的位置关系的判定
例1 已知直线l:mx-y-m-1=0,圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,分别求实数m的值或范围,使直线l与圆C有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点.
变式 (多选题)[2024·浙江金华高二期中] 已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2(r>0),点A(a,b),则下列说法正确的是 (　 )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
[素养小结]
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
拓展 一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为2 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西方向4 km处,某港口位于小岛中心正北方向3 km处,如果轮船沿直线返航,那么它是否有触礁危险 请说明理由.
◆ 探究点二　直线与圆相切问题　　　　　 　　　　　 　　　　　
例2 (1)圆x2+y2-2x-4y=0在点P(3,3)处的切线方程为 (　 )
A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0
C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0
(2)经过P(2,3)向圆x2+y2=4作切线,则切线方程为 (　 )
A.5x-12y+26=0
B.13x-12y+10=0
C.5x-12y+26=0或x=2
D.13x-12y+10=0或x=2
变式 已知圆O:x2+y2=1,过直线l:3x+4y-10=0上的动点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为 (　 )
A.1 B. C. D.2
[素养小结]
圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k(斜率存在且不为零),再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.若斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y0.
(2)点在圆外时
①几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0)(斜率存在),由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,从而得到切线方程.
②代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0)(斜率存在),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切线方程.
提醒:不要遗漏切线的斜率不存在的情况.
◆ 探究点三　直线与圆相交问题
例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长|AB|.
变式 (1)[2024·哈尔滨高二期末] 经过第一、二、三象限的直线l:ax-by+4=0与圆C:x2+y2+2x-2y-7=0交于A,B两点,若|AB|=6,则ab的最大值是 (　 )
A.8 B.4 C.2 D.1
(2)过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.
[素养小结]
求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题.
(2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长.
(3)利用弦长公式,设直线l:y=kx+b与圆的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|=.
拓展 已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y-9m-7=0,圆C:x2+y2-6x-4y-3=0,当直线l被圆C截得的弦长最短时,l的方程为 (　 )
A.x-3y-13=0 B.x-3y-17=0
C.x+3y-17=0 D.x-3y+13=0
2.3　直线与圆的位置关系
【课前预习】
知识点
2　1　0　dr　Δ>0　Δ=0
诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　(4)√
【课中探究】
例1　 解:方法一:将直线l的方程与圆C的方程联立,消去y整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,Δ=4m(3m+4).当Δ>0,即m>0或m<-时,直线l与圆C相交,即直线l与圆C有两个公共点;当Δ=0,即m=0或m=-时,直线l与圆C相切,即直线l与圆C只有一个公共点;当Δ<0,即-方法二:圆C的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2,圆心(2,1)到直线l:mx-y-m-1=0的距离d==.当d<2,即m>0或m<-时,直线l与圆C相交,即直线l与圆C有两个公共点;当d=2,即m=0或m=-时,直线l与圆C相切,即直线l与圆C只有一个公共点;当d>2,即-变式　ABD　[解析] 对于A,因为点A在圆C上,所以a2+b2=r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d1===r,所以直线l与圆C相切,故A正确;对于B,因为点A在圆C内,所以a2+b2r,所以直线l与圆C相离,故B正确;对于C,因为点A在圆C外,所以a2+b2>r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d3==拓展　解:设点O为小岛中心,点A为轮船的初始位置,点B为港口,以点O为坐标原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,3),易得直线AB的方程为+=1,即3x+4y-12=0,圆O的方程为x2+y2=4.由圆心O到直线AB的距离d==>2,可知圆O与直线AB无公共点.因此如果轮船沿直线返航,它无触礁危险.
例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为C(1,2),又点P在圆上,kCP=,所以切线斜率为-2,所以切线方程为y-3=-2(x-3),化简得2x+y-9=0,故选B.
(2)点P在圆外,因此过点P的圆的切线有两条,排除A,B.①当切线的斜率不存在时,切线方程为x=2,满足题意.②当切线的斜率存在时,设切线方程为y-3=k(x-2),由(0,0)到切线的距离d==2得k=,此时切线方程为y-3=(x-2),即5x-12y+26=0.故选C.
变式　C　[解析] 作出圆O与直线l,如图所示,连接PO,AO,则|PA|2=|PO|2-r2,易知当|PO|取得最小值时,|PA|取得最小值,因为|PO|min==2,所以|PA|的最小值为=.故选C.
例3　解:联立直线l与圆C的方程,得解得或所以直线l与圆C的两个交点为A(1,3),B(2,0),故直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长|AB|==.
变式　(1)B　[解析] 方程x2+y2+2x-2y-7=0可化为(x+1)2+(y-1)2=9,则圆C的圆心为(-1,1),半径为3,因为|AB|=6,所以直线l经过该圆的圆心,即-a-b+4=0,所以a+b=4.又直线l经过第一、二、三象限,所以即a>0,b>0,则ab≤=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以ab的最大值是4.故选B.
(2)解:将圆的方程化成标准方程得(x+1)2+(y-2)2=25,由圆的性质可得,圆心(-1,2)到直线l的距离d==3.
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4,满足题意;
②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0,由点到直线的距离公式,得3=,解得k=-,所以直线l的方程为5x+12y+20=0.综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0.
拓展　D　[解析] 直线l的方程可化为(2x+y-9)m+(x+y-7)=0,由解得所以直线l过定点A(2,5).圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=16,则圆C的的圆心坐标为(3,2),半径r=4,连接AC,显然|AC|=<4=r,即点A(2,5)在圆C内.直线AC的斜率为=-3,当l⊥AC时,直线l被圆C截得的弦长最短,此时直线l的斜率为,故所求直线方程为y-5=(x-2),即x-3y+13=0.故选D.

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