资源简介

§3　抛物线
3.1　抛物线及其标准方程
【学习目标】
　　1.了解抛物线的实际背景.
　　2.经历从具体情境中抽象出抛物线的过程.
　　3.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
【课前预习】
◆ 知识点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的　　　　,这条定直线l叫作抛物线的　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,则点P的轨迹是抛物线. (　 )
(2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等,则点P的轨迹是抛物线. (　 )
(3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1,则点P的轨迹是抛物线. (　 )
◆ 知识点二　抛物线的标准方程
焦点在x轴的正半轴上,且焦点的坐标是的抛物线的标准方程为　　　　(p>0),它的准线方程是x=-,其中p是抛物线的焦点到准线的距离.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数. (　 )
(2)原点到抛物线的准线的距离是p. (　 )
(3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　抛物线的定义
例1 (1)(多选题)若动点M(x,y)到定点的距离与它到定直线的距离相等,则点M的轨迹可以是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.抛物线 B.双曲线
C.圆 D.直线
(2)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,若点A(,2)在C上,则|AF|= (　 )
A. B. C. D.
(3)已知动点P的坐标(x,y)满足5=|3x+4y-7|,则动点P的轨迹是 (　 )
A.直线 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
变式 (1)过点F(0,4)且与直线y+4=0相切的动圆圆心的轨迹为 (　 )
A.抛物线 B.双曲线
C.圆 D.直线
(2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点M在C上,点N在准线l上,且MN平行于x轴,若|NF|=|MN|,则|MF|= (　 )
A. B.1
C. D.4
[素养小结]
抛物线上任意一点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离,因此,由抛物线的定义可以实现点到点距离与点到线距离的相互转化,从而简化某些问题.
拓展 (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C的准线l上,线段MF与y轴交于点A,与抛物线C交于点B,若|MA|=3|AB|=3,则p= (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是 (　 )
A. B. C.2 D.-1
◆ 探究点二　抛物线的标准方程
例2 过点(1,-2)的抛物线的标准方程是　　　　　　　　　　.
变式 (1)若抛物线y2=2px(p>0)上的点M(3,y)到焦点的距离是4,则该抛物线的标准方程为 (　 )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=8x D.y2=12x
(2)焦点在直线2x+5y-10=0上的抛物线的标准方程为　　　　　　　.
[素养小结]
求抛物线标准方程的主要方法是待定系数法和定义法,注意不要混淆抛物线的焦点的位置和方程的形式.
§3　抛物线
3.1　抛物线及其标准方程
【课前预习】
知识点一
焦点　准线
诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√
知识点二
y2=2px
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√
【课中探究】
例1　(1)AD　(2)C　(3)D　[解析] (1)若定点不在定直线上,则由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线;若定点在定直线上,则点M的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.故选AD.
(2)方法一:因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,得p=,所以抛物线的准线方程为y=-.由抛物线的定义知,|AF|等于点A到准线的距离,即|AF|=2+=.
方法二:因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,得p=,所以F,所以|AF|2=()2+=2+=,则|AF|=,故选C.
(3)由5=|3x+4y-7|,得=,即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等,又易知点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上,所以由抛物线的定义知,动点P的轨迹为抛物线.故选D.
变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)由题意可得,动圆的圆心到直线y=-4的距离与到点F(0,4)的距离相等,所以动圆的圆心是以点F(0,4)为焦点,直线y=-4为准线的抛物线, 故选A.
(2)根据题意可得,抛物线焦点到准线的距离p=2,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线l的方程为x=-1.设准线l与x轴的交点为E,由题知MN⊥l,由抛物线的定义可知|MN|=|MF|,因为|NF|=|MN|,所以△MNF是正三角形.因为MN∥EF,所以∠EFN=∠MNF=60°,所以在Rt△NEF中,|MF|=|NF|=2|EF|=2p=4.故选D.
拓展　(1)C　(2)D　[解析] (1)设l与x轴的交点为H,由原点O为线段FH的中点知,点A为线段MF的中点,因为|MA|=3|AB|=3,所以|MF|=6,|BF|=2,|BM|=4.过点B作BQ⊥l,垂足为Q,则由抛物线的定义可知|BQ|=|BF|=2,所以|BM|=2|BQ|,则|MF|=2|FH|=6,所以p=|FH|=3.故选C.
(2)设抛物线的焦点为F,则F(1,0).设点P到直线l的距离为d,连接PF,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.
例2　y2=4x或x2=-y　[解析] 当抛物线的焦点在x轴上时,设方程为y2=mx(m≠0),则有(-2)2=m·1,解得m=4,所以抛物线的方程为y2=4x;当抛物线的焦点在y轴上时,设方程为x2=ny(n≠0),则有12=n·(-2),解得n=-,所以抛物线的方程为x2=-y.所以过点(1,-2)的抛物线的标准方程是y2=4x或x2=-y.
变式　(1)B　(2)y2=20x或x2=8y　[解析] (1)由题得抛物线的准线方程为x=-(p>0),点M到准线的距离等于它到焦点的距离,则3+=4,所以p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x,故选B.
(2)直线2x+5y-10=0与坐标轴的交点为(5,0)和(0,2),所以抛物线的焦点为(5,0)或(0,2).当焦点为(5,0)时,抛物线的标准方程为y2=20x;当焦点为(0,2)时,抛物线的标准方程为x2=8y.故所求抛物线的标准方程为y2=20x或x2=8y.

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