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第2课时　抛物线的简单几何性质(二)
【学习目标】
　　1.理解抛物线的简单几何特征.
　　2.能求与抛物线相关的轨迹问题.
【课前预习】
◆ 知识点一　与抛物线有关的轨迹问题
求解与抛物线有关的轨迹的方程的常见方法:
(1)定义法:若动点P(x,y)的运动规律符合抛物线的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件解方程中的参数,即可求得轨迹方程.
(2)直接法:若动点P(x,y)的运动规律满足的等量关系容易建立,则可用点P的坐标(x,y)表示该等量关系,即可求得轨迹方程.
(3)相关点法:若动点P的运动是由另外一点P'的运动引发的,而点P'的运动规律已知(坐标满足某已知的曲线方程),则用点P的坐标(x,y)表示出点P'的坐标,然后将点P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到点P的轨迹方程.
(4)交轨消参法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两个动曲线交点的轨迹问题,这类问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数得到所求的轨迹方程.
◆ 知识点二　抛物线中的最值问题
抛物线中的最值问题的求法大体归结为“回归定义法”“构造目标函数法”和“数形结合法”三类.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点的横坐标的最小值是0. (　 )
(2)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的距离的最小值为p. (　 )
◆ 知识点三　抛物线的实际应用
与抛物线有关的实际问题,通过建立坐标系,利用坐标法,把实际问题转化为几何问题.而建立坐标系的方法为:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立平面直角坐标系.这样可使得抛物线不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单.
【诊断分析】 一元二次函数的图象与抛物线之间的关系是什么
【课中探究】
◆ 探究点一　与抛物线有关的轨迹问题
例1 已知动圆M与直线y=-2相切,且与定圆C:x2+(y-3)2=1外切,那么动圆圆心M的轨迹方程为　　　　.
变式 (1)已知在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l平行于y轴,且l与x轴的交点为(4,0),点A在直线l上,动点P的纵坐标与A的纵坐标相同,且⊥,求动点P的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
(2)已知点P是曲线y=x2+1上任意一点,A(2,0),连接PA并延长至Q,使得=2,求动点Q的轨迹方程.
[素养小结]
解决与抛物线有关的轨迹问题的关键点:
①要深入理解求动点的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型.②求轨迹方程时要注意检验,多余的点要除去,而遗漏的点要补上.③要明确抛物线的简单几何性质,选相应的解题策略和拟定具体的解题方法.
◆ 探究点二　抛物线中的最值问题
例2 (1)已知定点Q(1,0),P是抛物线y2=8x上的动点,则|PQ|的最小值为　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)已知点P是抛物线C:x2=12y上的一点,过点P作直线y=-1的垂线,垂足为M,若G(4,0),则|PG|+|PM|的最小值为 (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
变式 (1)已知A(3,2),点F为抛物线y2=2x的焦点,直线l为抛物线的准线,点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取得最小值时,点P的坐标为 (　 )
A.(0,0) B.(2,2)
C.(1,) D.
(2)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为原点,点M是抛物线C的准线上一动点,点A在抛物线C上,且|AF|=2,则|MA|+|MO|的最小值为　　　　.
[素养小结]
解决与抛物线有关的最值问题,常结合抛物线的定义、几何性质进行转化构建函数.其中构建函数是确定最值的一个重要的途径,但一定要注意自变量的取值范围.
拓展 设抛物线x2=4y上一点P到x轴的距离为d,点Q为圆E:(x-4)2+(y+2)2=1上任意一点,则d+|PQ|的最小值为 (　 )
A.2-1 B.2
C.3 D.4
◆ 探究点三　抛物线的实际应用
例3 如图所示,某桥是抛物线形拱桥,此时水面宽为4 m,经过一次暴雨后,水位上升了1 m,水面宽为3 m,则暴雨后的水面离拱顶的距离为 (　 )
A. m B. m
C. m D. m
变式 已知某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,示意图如图所示.上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一艘货船欲过此桥孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下还可多装1000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度,问:该货船在现有状况下能否直接或设法通过该桥孔 为什么
[素养小结]
求解抛物线的实际应用问题的步骤
第2课时　抛物线的简单几何性质(二)
【课前预习】
知识点二
诊断分析 (1)√　(2)×
知识点三
诊断分析
解:一元二次函数与抛物线是高中数学中的重要概念,它们在数学建模、物理学和实际应用中有着广泛的应用,一元二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线,其对称轴不一定是坐标轴,其顶点不一定在原点.
【课中探究】
例1　x2=12y　[解析] 方法一:设M(x,y),由题意知,=|y+2|+1,易知y≥0,所以x2+y2-6y+9=y2+6y+9,整理得x2=12y.
方法二:由题意知,动点M到点C(0,3)的距离比到直线y=-2的距离多1,则动点M到点C(0,3)的距离与到直线y=-3的距离相等,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹是以直线y=-3为准线,点(0,3)为焦点的抛物线,设抛物线方程为x2=2py(p>0),则=3,得p=6,故动圆圆心M的轨迹方程为x2=12y.
变式　解:(1)由条件可知,直线l的方程为x=4,因此点A的横坐标为4.设点P的坐标为(x,y),则点A的坐标为(4,y),因此=(4,y),=(x,y).因为⊥的充要条件是·=0,所以4x+y2=0,即动点P的轨迹方程为y2=-4x.从而可以看出,轨迹是开口向左的抛物线.
(2)设动点Q的坐标为(x,y),点P的坐标为(x1,y1),则=(x-2,y),=(2-x1,-y1),y1=+1.
因为=2,所以x-2=2(2-x1),y=-2y1,
可得x1=,y1=-,代入y1=+1得-=+1,整理得y=-x2+6x-20,
所以动点Q的轨迹方程为y=-x2+6x-20.
例2　(1)1　(2)A　[解析] (1)∵点P是抛物线y2=8x上的动点,∴根据抛物线的对称性可设点P的坐标为(x,2),x≥0,∵点Q的坐标为(1,0),∴|PQ|===,又x≥0,∴当x=0,即P(0,0)时,|PQ|取得最小值1.
(2)由抛物线C:x2=12y可知其焦点坐标为(0,3),准线方程为y=-3,记抛物线C的焦点为F(0,3),连接PF,FG,如图,所以|PG|+|PM|=|PG|+|PF|-2≥|FG|-2=-2=3,当且仅当点P在线段FG上时等号成立,所以|PG|+|PM|的最小值为3.故选A.
变式　(1)B　(2)　[解析] (1)在y2=2x中,当x=3时,|y|=>2,所以点A在抛物线的内部.作AB⊥l,垂足为B,设点P到抛物线的准线l的距离为d,准线的方程为x=-,所以|PA|+|PF|=|PA|+d≥|AB|=3+=,当且仅当点P为线段AB与抛物线的交点时,|PA|+|PF|取得最小值,此时点P的坐标为(2,2).故选B.
(2)由题知抛物线的准线方程为y=-1,因为|AF|=2,所以yA+1=2,所以yA=1,所以xA=±2,不妨取A(2,1),如图,作A关于准线的对称点B,则B(2,-3),连接OB,MB,所以|MA|+|MO|=|MB|+|MO|≥|OB|,当且仅当O,M,B三点共线时取等号,所以|MA|+|MO|的最小值为=.
拓展　C　[解析] 设抛物线的焦点为F,则F(0,1),准线方程为y=-1,连接PF,则d+1=|PF|,即d=|PF|-1,所以d+|PQ|=|PF|-1+|PQ|.连接FE,FQ,因为圆E:(x-4)2+(y+2)2=1的圆心为E(4,-2),半径r=1,所以d+|PQ|=|PF|-1+|PQ|≥|FQ|-1≥|FE|-r-1=-1-1=3,当且仅当点P,Q均在线段EF上时取等号,即d+|PQ|的最小值为3.故选C.
例3　C　[解析] 在一个铅垂平面内,以拱顶为坐标原点,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.设桥孔所在抛物线的方程为x2=-2py(p>0),A,B(2,t-1),由题可得
解得t=-,所以暴雨后的水面离拱顶的距离为 m.故选C.
变式　解:如图所示,在一个铅垂平面内,以拱顶为坐标原点,过拱顶的水平直线为x轴,过拱顶且垂直于水平直线的直线为y轴,建立平面直角坐标系.因为拱顶距离水面6米,桥墩高出水面4米,所以A(10,-2).设桥孔上部所在抛物线的方程是x2=-2py(p>0),则102=-2p×(-2),所以p=25,所以抛物线的方程为x2=-50y,即y=-x2.当x=8时,y=-×82=-1.28,所以若货船沿正中央航行,则当船体吃水线上部货物的高度不超过6+(-1.28)=4.72(米)时可正常通行.
又目前吃水线上部中央船体高5米,所以无法通行.
因为5-4.72=0.28,0.28÷0.04=7,150×7=1050,所以若该货船通过增加货物通过桥孔,则至少要增加1050吨货物,而货船最多还能装1000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过该桥孔.

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