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3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质(一)
【学习目标】
　　1.了解抛物线的简单几何特征.
　　2.了解抛物线标准方程中p的几何意义.
【课前预习】
◆ 知识点　抛物线的几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图象
焦点坐标
准线方程 x=- x= y=- y=
(续表)
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
开口方向 　　 　　 　　 　　
范围 　　　, y∈R 　　　, y∈R 　　　, x∈R 　　　, x∈R
对称性 关于　　　对称 关于　　　对称
顶点坐标 　　
离心率 　　
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线关于原点对称. (　 )
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. (　 )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同. (　 )
2.(1)从形状上看,抛物线有点像双曲线的一支,它们有区别吗
(2)如何把握抛物线的简单几何性质
【课中探究】
◆ 探究点一　抛物线的简单几何性质
例1 (1)一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax(a≠0)上(除原点外),另一个顶点是坐标原点,如果这个三角形的面积为36,那么a=　　　　.
(2)求下列抛物线的顶点坐标、对称轴、焦点坐标和准线方程.
①y2=2x;②x2=32y;③y=-8x2;④x=-y2.
变式 在同一直角坐标系中,方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(mn≠0)表示的曲线大致是 (　 )
A B C D
[素养小结]
确定抛物线的简单几何性质要把握三个要点:
(1)开口:由抛物线的标准方程看曲线的开口方向,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
◆ 探究点二　抛物线的简单几何性质的应用
例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点F关于准线的对称点为M(0,-9);
(2)关于y轴对称,与直线y=-12相交所得线段的长为12;
(3)关于x轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形.
变式 (1)“米”是象形字,数学探究课上,某同学在直角坐标系中用抛物线C1:=-2px(p>0)和C2:=2px构造了一个类似“米”字图案,如图所示.抛物线C1,C2的焦点分别为F1,F2,点P在抛物线C1上,过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF1|=3|PQ|=6,则p= (　 )
A.4 B.6
C.8 D.10
(2)已知F为抛物线C:y2=12x的焦点,直线x=1与抛物线交于A,B两点,则∠AFB的大小为 (　 )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(3)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3,则△POF的面积为　　　　.
[素养小结]
用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤:
拓展 已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P(1,y0)在C上,过P作l的垂线,垂足为Q,若∠FPQ=120°,则F到y轴的距离为 (　 )
A.3 B.4 C.6 D.12
3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质(一)
【课前预习】
知识点
向右　向左　向上　向下　x≥0　x≤0　y≥0　y≤0
x轴　y轴　(0,0)　e=1
诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)√
2.解:(1)有区别.抛物线与双曲线的曲线延伸趋势不同.例如当抛物线y2=2px(p>0)上的点趋于无穷远时,它在这一点的切线的斜率接近于0,也就是说在无穷远处抛物线与x轴接近于平行;而当双曲线上的点趋于无穷远时,它的一条切线的斜率接近于它的一条渐近线的斜率.双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线.
(2)确定抛物线的几何性质,一要定性,确定抛物线的开口方向,从而可得到方程的形式;二要定量,确定焦点到准线的距离,进而得到抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程等.
【课中探究】
例1　(1)±2　[解析] 由题意可知,该正三角形在抛物线上(除原点外)的两个顶点关于x轴对称,则由正三角形的性质可设这两个顶点的坐标分别为,(t≠0),则正三角形的边长为t.把点的坐标代入抛物线方程可得t2=ta,解得a=t.由题可知·=36,解得t=±6,所以a=±2.
(2)解:设抛物线的焦点到准线的距离为p.
①抛物线y2=2x的焦点在x轴正半轴上,p=1,则该抛物线的顶点坐标为(0,0),对称轴为x轴,焦点坐标为,准线方程为x=-.
②抛物线x2=32y的焦点在y轴正半轴上,p=16,则该抛物线的顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴,焦点坐标为(0,8),准线方程为y=-8.
③抛物线y=-8x2,即x2=-y,其焦点在y轴负半轴上,p=,则该抛物线的顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴,焦点坐标为,准线方程为y=.
④抛物线x=-y2,即y2=-16x,其焦点在x轴负半轴上,p=8,则该抛物线的顶点坐标为(0,0),对称轴为x轴,焦点坐标为(-4,0),准线方程为x=4.
变式　A　[解析] mx+ny2=0(mn≠0)可变形为y2=-x,此方程表示焦点在x轴上的抛物线,排除D.当mn>0时,y2=-x表示开口向左的抛物线,此时mx2+ny2=1表示椭圆或圆或不表示任何图形,排除B.当mn<0时,y2=-x表示开口向右的抛物线,此时mx2+ny2=1表示双曲线,排除C,A符合条件.故选A.
例2　解:(1)由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),则抛物线的焦点F的坐标为,准线方程为y=-.
因为焦点F关于准线的对称点为M(0,-9),
所以p=--(-9),解得p=6,
所以所求抛物线的标准方程为x2=12y.
(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),
因为直线y=-12与抛物线相交所得线段的长为12,
所以点(6,-12)在抛物线上,由62=-2p×(-12)(p>0),解得2p=3,所以所求抛物线的标准方程为x2=-3y.
(3)当焦点在x轴正半轴上时,可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),因为△MNF为等边三角形,且|MF|=2,所以|DF|=|MF|sin 60°=2×=3,即p=3,所以抛物线的标准方程为y2=6x.
同理可得,当焦点在x轴负半轴上时,抛物线的标准方程为y2=-6x.
变式　(1)D　(2)C　(3)2　[解析] (1)因为3|PQ|=6,所以|PQ|=2,又易知点P,Q关于y轴对称,所以xP=-1.由抛物线定义可知,|PF1|=-xP,即6=-(-1),解得p=10.
(2)抛物线C的方程为y2=12x,令x=1,可得y=±2,不妨设点A在第一象限,则A(1,2),B(1,-2).易知F(3,0),AB⊥x轴,取H(1,0),∴tan∠AFH===,∴∠AFH=60°,又易知∠BFH=∠AFH,∴∠AFB=120°.故选C.
(3)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以2p=4,可得=,所以焦点为F(,0),准线方程为x=-,又P为抛物线C上一点,且|PF|=3,所以点P到准线x=-的距离为3,所以xP=3-=2,所以=4×2=16,所以|yP|=4,所以S△POF=×|OF|×|yP|=××4=2.
拓展　A　[解析] 由抛物线的对称性,不妨令P在x轴上方,设准线l与x轴的交点为M,因为点P(1,y0)在C上,所以根据抛物线的定义可得|PQ|=|PF|=1+,|MF|=p,且∠FPQ=120°,连接QF,则∠PQF=∠PFQ=30°,所以△FPQ为等腰三角形,且=,所以|QF|=.在Rt△QMF中,∠MQF=60°,sin∠MQF=,即=,解得p=6,所以F到y轴的距离为3.故选A.

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