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2.4　圆与圆的位置关系
【学习目标】
　　1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.
　　2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【课前预习】
◆ 知识点　圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系包括:外离、　　　　、　　　　、　　　　和内含.
2.两圆的位置关系的判断:
(1)代数法:已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0),由消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,进而进行判断.
(2)几何法:已知两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆心连线的长d,进而进行判断.
(3)判断标准:
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公共点 个数 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ<0 　　　 　　 Δ=0 Δ<0
d与r1, r2的 关系 　　 　　 d=r1+r2 　　 　　 　　 　　 d<|r1-r2|
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. (　 )
(2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. (　 )
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立. (　 )
(4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定内含. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　两圆位置关系的判断
例1 (1)[2024·江苏淮安高二期中] 已知圆C1:(x+2)2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=4,则两圆的位置关系为 (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
(2)若圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x+2y+m=0相切,则实数m的值为　　　　.
变式 (1)(多选题) 已知b∈R,圆C1:(x-1)2+(y-b)2=4,C2:x2+y2=1,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.两圆可能外离
B.两圆可能外切
C.两圆可能相交
D.两圆可能内含
(2)已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0和圆C2:4x2+4y2-16x-16y+31=0,则这两个圆的公切线的条数为 (　 )
A.1或3 B.4
C.0 D.2
[素养小结]
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较,进而判断出两圆的位置关系,这是在解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法:将两圆的方程组成方程组,根据方程组解的个数判断两圆的位置关系.
◆ 探究点二　已知位置关系求圆的方程
例2 (1)求与两坐标轴及圆C:x2+y2-6x-2y+9=0都相切且圆心在第一象限的圆的标准方程;
(2) 求过圆C1:x2+y2-2y-4=0和圆C2:x2+y2-4x+2y=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程.
变式 (1)[2024·江西九江高二期末] 经过点(0,4),且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程为　　　　　　　　　.
(2)[2024·江苏连云港高二期中] 圆心在直线y=x上,且与直线y=-x及圆(x-3)2+(y-3)2=2都相切的一个圆的方程为　　　　　　　.
[素养小结]
已知位置关系求圆的方程,先利用已知条件设出圆的标准方程或一般方程,再根据直线与圆或者圆与圆的位置关系建立适当的方程,求出圆的方程中的参数,进而写出圆的方程.
◆ 探究点三　已知两圆位置关系求参数或最值
例3 (1)已知圆C1:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)与圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数r等于 (　 )
A.7 B.3
C.3或7 D.5
(2)已知P是圆C:x2+y2=1上一点,Q是圆D:(x-3)2+(y+4)2=3上一点,则|PQ|的最小值为 (　 )
A.1 B.4- C.2 D.3-
变式 已知两圆C1,C2内切,且C1,C2的半径是方程x2+px+q=0的两根,两圆的圆心距为1,圆C1的半径为3,则p+q= (　 )
A.2或4 B.4
C.1或5 D.5
[素养小结]
利用两圆的位置关系求参数的值或范围问题有以下几个步骤:
(1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径;
(2)计算两圆圆心之间的距离d;
(3)通过两圆的位置关系列出关于d,r1+r2,|r1-r2|的关系式,从而求得参数的值或范围.
拓展 [2024·广东深圳高二期中] 月球背面指月球永远背对地球的那一面,从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点A(0,-2)射出的两条光线与圆O:x2+y2=1分别相切于点M,N,称两射线AM,AN的切点上方部分与优弧MN上方所夹的平面区域(含边界)为圆O的“背面”.若以点B(a,2)(a>0)为圆心,r为半径的圆处于圆O的“背面”,则当r取得最大值时,a的值为　　　　.
◆ 探究点四　两圆公共弦问题
例4 已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
变式 (1)若圆C1:x2+y2+4x-2y-10=0与圆C2:x2+y2=r2(r>0)的公共弦恰为圆C1的直径,则圆C2的面积是 (　 )
A.2π B.4π C.10π D.20π
(2)(多选题)已知圆C1的方程为x2+y2=4,圆C2的方程为(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法正确的是 (　 )
A.若两圆外切,则r=3
B.若两圆公共弦所在直线的方程为3x-4y-2=0,则r=5
C.若两圆的公共弦长为2,则r=
D.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=4
[素养小结]
解决两圆公共弦问题的方法如下:
(1)当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程;
(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定理可求弦长;
(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程.
2.4　圆与圆的位置关系
【课前预习】
知识点
1.外切　相交　内切
2.(3)Δ=0　Δ>0　d>r1+r2　|r1-r2|d=|r1-r2|
诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×
【课中探究】
例1　(1)D　(2)-11或-31　[解析] (1)由圆C1:(x+2)2+y2=4,可得圆心C1的坐标为(-2,0),半径r1=2.由圆C2:(x-2)2+(y-1)2=4,可得圆心C2的坐标为(2,1),半径r2=2,则两圆心的距离d==,又r1+r2=4,所以d>r1+r2,故两圆外离.故选D.
(2)圆C1的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=1,则圆C1的圆心为C1(-2,2),半径r1=1.圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5-m,则圆C2的圆心为C2(2,-1),半径r2=(m<5).当圆C1与圆C2外切时,|C1C2|=r1+r2,即=1+,解得m=-11;当圆C1与圆C2内切时,|C1C2|=|r1-r2|,即=|1-|,解得m=-31.所以当圆C1与圆C2相切时,m=-11或m=-31.
变式　(1)ABC　(2)B　[解析] (1)圆C1:(x-1)2+(y-b)2=4的圆心为C1(1,b),半径r1=2,圆C2:x2+y2=1的圆心为C2(0,0),半径r2=1,则|C1C2|=≥1,r1+r2=3,r1-r2=1.当b2>8时,|C1C2|>r1+r2,两圆外离;当0(2)因为圆C1:(x-1)2+(y+2)2=9,圆C2:(x-2)2+(y-2)2=,所以圆心距d=|C1C2|==,因为两圆半径之和为3+=<,所以两个圆外离,则这两个圆的公切线有4条.故选B.
例2　解:(1)设所求圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,因为所求圆与两坐标轴相切,且圆心在第一象限,所以a=b=r>0,则所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0).圆C的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=1,则圆C的圆心坐标为(3,1),半径为1.当所求圆与圆C外切时,可得=a+1,解得a=1或a=9,此时所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-9)2+(y-9)2=81;当所求圆与圆C内切时,可得=|a-1|,解得a=3,此时所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=9.综上可知,所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y-3)2=9或(x-9)2+(y-9)2=81.
(2)设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+λ(x2+y2-2y-4)=0(λ≠-1),则(1+λ)x2-4x+(1+λ)y2+(2-2λ)y-4λ=0,即x2+y2-x+y-=0,所以所求圆的圆心坐标为,把代入方程2x+4y-1=0中,得2×+4×-1=0,解得λ=,所以所求圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0.
变式　(1)(x-2)2+(y-2)2=8　(2)(x-1)2+(y-1)2=2或(x-2)2+(y-2)2=8(写出其中一个即可)　[解析] (1)由题意知,圆C的标准方程为(x+5)2+(y+5)2=50,圆心为C(-5,-5),半径r1=5.因为所求圆与圆C相切于原点,所以两圆的圆心均在直线y=x上,设所求圆的圆心坐标为(a,a),因为该圆过点(0,4)及原点,所以圆心(a,a)在直线y=2上,即a=2,可得所求圆的半径r2=2,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=8.
(2)设圆心坐标为(m,m),则所求圆的半径为=|m|.因为圆C:(x-3)2+(y-3)2=2上的点都在第一象限,且所求圆与圆C相切,所以m>0.若所求圆与圆C外切,则=+m,可得m=1,则所求圆的圆心为(1,1),半径为,方程为(x-1)2+(y-1)2=2.若所求圆与圆C内切,则=|m-|,可得m=2,则所求圆的圆心为(2,2),半径为2,方程为(x-2)2+(y-2)2=8.综上,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x-2)2+(y-2)2=8.
例3　(1)C　(2)B　[解析] (1)圆C1:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)的圆心为C1(-2,2),半径为r,圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4的圆心为C2(1,-2),半径为2,所以|C1C2|==5.因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,所以圆C1与圆C2内切或外切,所以|r-2|=5或r+2=5,解得r=7或r=3或r=-3(舍).故选C.
(2)由题意知,C(0,0),D(3,-4),且圆C,圆D的半径分别为r1=1,r2=,所以|CD|=5,可得r1+r2<|CD|,所以两圆外离,所以|PQ|的最小值为|CD|-r1-r2=5-1-=4-.故选B.
变式　C　[解析] 设圆C2的半径为r,由题知因为两圆内切,所以|r-3|=1,所以r=4或r=2.当r=4时,p=-7,q=12,满足Δ>0,此时p+q=5;当r=2时,p=-5,q=6,满足Δ>0,此时p+q=1.故选C.
拓展　8-6　　[解析] 易知切线斜率存在,设切线的方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,则圆心O到切线的距离d==1,解得k=±.不妨设切线AM的方程为x-y-2=0,令y=2,得x=;则切线AN的方程为-x-y-2=0,令y=2,得x=-.因为圆B处于圆O的“背面”,所以a∈.易知当圆B与直线AM相切且与圆O外切时半径r最大,则
因为a∈,所以4-a>0,所以r=,故=+1,解得a=8-6(舍去负值).
例4　解:(1)设两圆的交点为A,B,则A,B两点的坐标是方程组的解.①-②,得x-y+4=0,∵A,B两点的坐标都满足此方程,∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
(2)方法一:解方程组得两圆的交点为A(-1,3),B(-6,-2).设所求圆的圆心为(a,b),因为圆心在直线x-y-4=0上,所以b=a-4.由=,解得a=,则b=-,故所求圆的圆心为,半径为.故所求圆的方程为+=,即x2+y2-x+7y-32=0.
方法二:设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),其圆心坐标为,代入x-y-4=0,解得λ=-7,故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
变式　(1)D　(2)AB　[解析] (1)两圆方程相减得4x-2y-10+r2=0,因为公共弦恰为圆C1的直径,所以圆C1的圆心(-2,1)在直线4x-2y-10+r2=0上,可得4×(-2)-2-10+r2=0,解得r2=20,所以圆C2的面积为20π.故选D.
(2)由题意知,圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(3,-4),半径r2=r,|C1C2|=5.对于A选项,若两圆外切,则|C1C2|=r1+r2,即5=2+r,可得r=3,A选项正确.对于B选项,两圆方程相减并化简得3x-4y+=0,则=-2,即r2=25,可得r=5,此时r2-r1=3,r2+r1=7,所以3<|C1C2|<7,满足两圆相交,B选项正确.对于C选项,两圆方程相减并化简得3x-4y+=0,则C1(0,0)到直线3x-4y+=0的距离d==,所以2=2,则4-d2=3,可得d2=1,则=1,即|r2-29|=10,解得r=或r=,C选项错误.对于D选项,设两圆的一个交点为D,连接C1D,C2D,则根据圆的几何性质可知C1D⊥C2D,所以r2=|C2D|2=|C1C2|2-=25-4=21,则r=,D选项错误.故选AB.

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