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§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
【学习目标】
　　正确判断直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系.
【课前预习】
◆ 知识点一　直线与椭圆的交点问题
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的交点个数的判断方法:由消去y得到一个关于x的一元二次方程,通过Δ与0的大小关系判断直线与椭圆的交点个数.
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数(直线与椭圆交点的个数)及Δ的取值的关系如下表所示.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 　　　 　　　
相切 　　　 　　　
相离 　　　 　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知椭圆+=1(a>b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线. (　 )
(2)直线y=k(x-a)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交. (　 )
(3)直线与椭圆的公共点最多有2个. (　 )
◆ 知识点二　直线与双曲线的交点问题
一般地,设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)①,双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0)②,把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线l与双曲线C的渐近线　　　　,直线与双曲线　　　　　　.
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
判别式 位置关系 交点情况
Δ>0 直线与双曲线　　 　　　　　
Δ=0 直线与双曲线　　 　　　　　
Δ<0 直线与双曲线　　 　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切. (　 )
(2)过点A(1,0)作直线l,使得直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,这样的直线可作2条. (　 )
(3)直线l:y=x与双曲线C:x2-=1有两个公共点. (　 )
(4)过点(0,2)且与双曲线-=1只有一个公共点的直线有2条. (　 )
(5)若直线与双曲线的一条渐近线平行,则该直线与双曲线有两个交点. (　 )
◆ 知识点三　直线与抛物线的交点问题
设直线l:y=kx+m,抛物线C:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,则有
判别式 位置关系 交点情况
Δ>0 直线与抛物线　　 　　　　
Δ=0 直线与抛物线　　　 　　　　
Δ<0 直线与抛物线　　 　　　　
(2)若k=0,则直线与抛物线有　　　　交点,此时直线与抛物线的对称轴　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切. (　 )
(2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. (　 )
(3)直线x-2y+1=0与抛物线y2=x的位置关系是相交. (　 )
(4)若直线与抛物线有两个交点,则直线与抛物线相交. (　 )
(5)若直线与抛物线相交,则直线与抛物线有两个交点. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　直线与椭圆的交点问题
例1 (1)给定三条曲线:①+=1;②x2+=1;③+y2=1.其中与直线x+y-=0仅有一个交点的曲线是　　　　.(填序号)
(2)对不同的实数m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=1的位置关系.
变式 (1)若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则k的值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.-
C.± D.±
(2)若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围为　　　　.
[素养小结]
判断直线和椭圆的位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立,消去一个变量,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线和椭圆相交;若Δ=0,则直线和椭圆相切;若Δ<0,则直线和椭圆相离.
◆ 探究点二　直线与双曲线的交点问题
例2 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试确定满足下列条件的实数k的值或取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点;
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点.
变式 直线l过点(0,1)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有 (　 )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
[素养小结]
(1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论,即直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
◆ 探究点三　直线与抛物线的交点问题
例3 (1)(多选题)已知直线l过定点P(0,1),则与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线l的方程可以为 (　 )
A.y=1 B.x-2y+2=0
C.x=0 D.x=
(2)已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,分别求k的值或范围,使得直线l与抛物线C只有一个公共点,有两个公共点,没有公共点.
变式 (1)已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,则实数a的值为　　　　.
(2)已知抛物线C:x2=4y,过点P(0,-1)作抛物线的切线PA,PB,切点分别为A,B,则·=　　　　.
[素养小结]
直线与抛物线交点的个数,等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组的解的个数.注意直线斜率不存在和消去一个变量后得到的方程的二次项系数为0的情况.
拓展 已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是　　　　.
§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
【课前预习】
知识点一
2　Δ>0　1　Δ=0　0　Δ<0
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√
知识点二
(1)平行　相交于一点
(2)相交　两个交点　相切　一个交点　相离　没有交点
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
知识点三
(1)相交　两个交点　相切　一个交点　相离　没有交点　(2)一个　平行或重合
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
【课中探究】
例1　(1)②③　[解析] ①中,由整理得13x2-18x+9=0,Δ1=(-18)2-4×13×9≠0,不满足题意;②中,由整理得5x2-2x+1=0,Δ2=(-2)2-4×5×1=0,满足题意;③中,由
整理得5x2-8x+16=0,Δ3=(-8)2-4×5×16=0,满足题意.故填②③.
(2)解:联立直线与椭圆的方程,得消去y,整理得5x2+8mx+4m2-4=0,则Δ=(8m)2-4×5×(4m2-4)=16(5-m2).当-0,直线与椭圆相交;当m=-或m=时,Δ=0,直线与椭圆相切;当m<-或m>时,Δ<0,直线与椭圆相离.
变式　(1)C　(2)[1,5)　[解析] (1)联立直线与椭圆的方程,得消去y,整理得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题知Δ=0,∴k2=,∴k=±.
(2)显然直线y=kx+1过定点A(0,1).由题意知,点A在椭圆+=1上或其内部,∴m>0,m≠5,+≤1,∴m≠5,且m≥1.又椭圆的焦点在x轴上,∴m<5,故m的取值范围为[1,5).
例2　解:联立直线与双曲线的方程,得消去y,整理得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*).当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
(1)由得-(2)由得k=±,此时方程(*)有唯一的实数解,即直线l与双曲线有且只有一个公共点.当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)可化为2x=5,故方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交且只有一个公共点.综上,当k=±或k=±1时,直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(3)由得k<-或k>,此时方程(*)无实数解,即直线l与双曲线无公共点.
变式　D　[解析] 依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,由消去y并整理,得(1-k2)x2-2kx-3=0.当1-k2=0,即k=±1时,方程(1-k2)x2-2kx-3=0只有一个解x=-,此时直线l与双曲线只有一个公共点,这样的直线l有2条;当1-k2≠0时,由Δ=4k2-12(k2-1)=0,解得k=±,此时方程(1-k2)x2-2kx-3=0有两个相等的实根x=,直线l与双曲线只有一个公共点,这样的直线l有2条.综上,满足题意的直线有4条,故选D.
例3　(1)ABC　[解析] 当过点P(0,1)的直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+1,由方程组消去y得k2x2+(2k-2)x+1=0.若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个交点,直线l的方程为y=1;若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个交点,直线l的方程为y=x+1,即x-2y+2=0.当过点P(0,1)的直线l的斜率不存在时,其方程为x=0,此时直线l与抛物线相切,只有一个交点.综上,直线l的方程为y=1或x-2y+2=0或x=0.故选ABC.
(2)解:由消去y,整理得k2x2+(2k-4)x+1=0(*).当k=0时,(*)式为-4x+1=0,解得x=,∴y=1,∴直线l与抛物线C只有一个公共点,此时直线l平行于x轴.当k≠0时,(*)式是一个一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
①当Δ>0,即k<1且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点,此时直线l与抛物线C相交;
②当Δ=0,即k=1时,直线l与抛物线C有一个公共点,此时直线l与抛物线C相切;
③当Δ<0,即k>1时,直线l与抛物线C没有公共点,此时直线l与抛物线C相离.
综上所述,当k=1或k=0时,直线l与抛物线C有一个公共点;当k<1且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点;当k>1时,直线l与抛物线C没有公共点.
变式　(1)0或-1或-　(2)0　[解析] (1)当a=0时,曲线y2=ax为直线y=0,显然直线y=x-1与直线y=0有唯一公共点(1,0),因此a=0满足题意.当a≠0时,由消去y并整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0(*),当a=-1时,x=-1,y=-1,直线y=-1与曲线y2=-x有唯一公共点(-1,-1),因此a=-1满足题意;当a≠0且a≠-1时,方程(*)的判别式Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=5a2+4a=0,则a=-,此时直线y=x-1与曲线y2=-x相切,有唯一公共点,因此a=-满足题意.所以实数a的值为0或-1或-.
(2)∵切线过点P(0,-1),且与抛物线C:x2=4y切于A,B两点,∴切线的斜率存在,设切线的斜率为k,则过点P(0,-1)的切线方程为y=kx-1.由得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,得k=±1,不妨令切线PA,PB的方程分别为y=x-1,y=-x-1.由得x2-4x+4=0,∴x=2,∴A(2,1),同理可知B(-2,1).∵P(0,-1),∴=(2,2),=(-2,2),∴·=-4+4=0.
拓展　[-1,1]　[解析] 由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),由消去y并整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0

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