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4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
【学习目标】
　　会求直线与圆锥曲线相交所得的弦长.
【课前预习】
◆ 知识点　圆锥曲线的弦长公式
(1)圆锥曲线的弦长
当直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段),线段的长就是弦长.
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
　　　　　　　　　　=　　　　　　　　=　　　　　　　　.抛物线的过焦点的弦长|AB|=x1+x2+p=,θ为弦AB所在直线的倾斜角.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线的斜率不变,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大. (　 )
(2)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点的弦长|AB|=p+y1+y2. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　弦长公式
例1 (1)[2024·浙江温州高二期中] 过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为30°的直线,交双曲线于A,B两点,则弦长|AB|=　　　　.
(2)[2024·四川德阳高二期中] 已知椭圆C:x2+2y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角为的直线l交椭圆于A,B两点.
①求AB的长;
②求△ABF2的面积.
变式 (1)已知抛物线C1:y2=8x的准线经过双曲线C2的一个焦点,且被双曲线C2所截得的弦长为6,则双曲线C2的渐近线方程是　　　　.
(2)[2024·厦门一中高二月考] 已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为,过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,设右焦点为F2.
①求椭圆的方程;
②求△CDF2的面积.
[素养小结]
求弦长的两种方法
①距离公式法:当弦的两个端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间的距离公式求弦长.
②弦长公式法:当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=·|x1-x2|=|y1-y2|,而|x1-x2|=,可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后再进行整体代入求解.
◆ 探究点二　已知弦长求参数
例2 直线y=x+m与椭圆+y2=1交于A,B两点,若|AB|=,则实数m的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.± B.±1 C.± D.±2
变式 已知斜率为2的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长为9,则p= (　 )
A.1 B.2 C.4 D.8
[素养小结]
关于已知弦长求参数问题,常常利用弦长公式,构建方程来求解.在求解过程中体现了解析几何中的设而不求的思想,其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系进行求解.
拓展 经过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A,B,若S△AOB=2(其中O为坐标原点),则直线l的斜率为　　　　.
◆ 探究点三　与弦长有关的最值、范围问题
例3 [2024·吉林白山高二期末] 已知过点(0,1)的直线与椭圆x2+=1交于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.
变式 已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与双曲线C交于P,Q两点,当|PQ|取得最小值时,求四边形F1PF2Q的面积.
[素养小结]
有关弦长的最值问题,常有两种解法:一是几何方法,常结合圆锥曲线的定义来求解;二是代数方法,构建函数,利用函数的性质或不等式来求解.
拓展 已知椭圆+y2=1,过点P(2,0)且斜率为k的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,O为坐标原点,则△AOB的面积S的最大值为　　　　.
◆ 探究点四　中点弦问题
例4 (1)[2024·安徽芜湖高二期中] 已知A,B是椭圆E:+=1上的两点,点P(-2,1)是线段AB的中点,则直线AB的方程为 (　 )
A.x-2y+4=0 B.x-y+3=0
C.2x-y+5=0 D.x-4y+6=0
(2)已知双曲线的中心在原点,且它的一个焦点为F(,0),直线y=x-1与双曲线相交于M,N两点,线段MN的中点的横坐标为-,求此双曲线的方程.
变式 直线x+y-1=0被椭圆+=1截得的弦的中点M与椭圆中心O的连线OM的斜率为　　　　.
[素养小结]
已知弦中点求弦所在直线方程或求曲线方程,利用点差法得到弦所在直线斜率与弦中点坐标之间的关系式,从而减小计算量降低难度.
拓展 直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点的纵坐标为1,O为坐标原点,则O到直线AB的距离为 (　 )
A. B. C. D.
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
【课前预习】
知识点
(2)　|x1-x2|
·|y1-y2|
诊断分析 (1)√　(2)√
【课中探究】
例1　(1)8　[解析] 由双曲线x2-y2=4,得a=b=2,c==2,则F(2,0),设直线AB的倾斜角为θ,则θ=30°.
方法一:直线AB的斜率k=tan 30°=,则直线AB的方程为x=y+2,由消去x得y2+2y+2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知又|AB|=|y1-y2|=
2,所以|AB|=2=8.
方法二(利用双曲线的二级结论):|AB|===8.
(2)解:①椭圆C:+y2=1中,a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,即F1(-1,0),所以直线l的方程为y=x+1.
由得3x2+4x=0,得x1=0,x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=×=.
(2)由x1=0,得y1=1,由x2=-,得y2=-,不妨设A(0,1),B,则△ABF2的面积S=×|F1F2|×|y1-y2|=×2×=.
变式　(1)y=±x　[解析] 由题知抛物线C1:y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,因为直线x=-2经过双曲线C2的一个焦点,所以双曲线的左焦点为(-2,0).设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0,b>0),因为双曲线C2的半焦距c=2,抛物线的准线被双曲线C2所截得的弦长为6,所以将x=-c代入-=1,结合a2+b2=c2得y=±,即=6 =3 b2=3a,结合a2+b2=c2=4得a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4(舍去),所以b=,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±x.
(2)解:①∵椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),∴b=1,又离心率e===,∴a2=2,
∴椭圆的方程为+y2=1.
②∵F1(-1,0),F2(1,0),∴直线BF1的方程为y=-2x-2.由消去y,得9x2+16x+6=0,∴Δ=162-4×9×6=40>0,∴直线与椭圆有两个交点.设C(x1,y1),D(x2,y2),则∴|CD|=|x1-x2|=·=×=,又点F2到直线BF1的距离d==,故=|CD|·d=.
例2　B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得3x2+4mx+2m2-2=0,由Δ=16m2-12(2m2-2)>0,得m2<3,因为x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=·=×=×=,解得m=±1,满足Δ>0.故选B.
变式　C　[解析] 由题意可知直线l的方程为y=2(p>0),由消去y,整理得4x2-5px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+p==9,解得p=4.故选C.
拓展　±　[解析] 由已知得F(1,0),设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,所以|AB|=|x1-x2|=·=.又点O到直线AB的距离d=,所以S△AOB=|AB|d=··=2,解得k=±.
例3　解:由02+<1,得点(0,1)在椭圆内,若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1(k∈R),与椭圆方程联立,整理得(2+k2)x2+2kx-1=0,所以xA+xB=-,xAxB=-,则|AB|=×=2·=2×∈[,2).若直线AB的斜率不存在,则|AB|即为长轴长,即为2.综上,|AB|的取值范围为[,2].
变式　解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得x2-8mx-4m2-20=0,则x1+x2=8m,x1·x2=-4m2-20,所以|PQ|=·=·=4.当m=0时,|PQ|取得最小值4,此时直线的方程为y=x.设F1(-3,0),F2(3,0)到直线y=x的距离分别为d1,d2,则d1==,d2==,所以四边形F1PF2Q的面积为+=|PQ|·(d1+d2)=×4×=12.
拓展　　[解析] 显然直线l不垂直于y轴,故设其方程为x=my+2,由消去x并整理得(m2+2)y2+4my+2=0,由Δ>0得m2>2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以|y1-y2|==.S=|OP||y1-y2|=|y1-y2|===≤
=,当且仅当=,即m=±时取“=”,所以△AOB的面积S的最大值为.
例4　(1)A　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为,所以=-2,=1,即x1+x2=-4,y1+y2=2.将A,B的坐标代入椭圆的方程,得两式作差可得+=0,所以=-×=,所以直线AB的方程为y-1=(x+2),即x-2y+4=0.故选A.
(2)解:设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意可得a2+b2=7,设M(x1,y1),N(x2,y2),由直线y=x-1与双曲线相交于M,N两点,线段MN的中点的横坐标为-,得线段MN的中点为,则x1+x2=-,y1+y2=-.由-=1且-=1,两式相减得=,则=,即=,所以a2=b2,与a2+b2=7联立,解得a2=2,b2=5,故双曲线的方程为-=1.
变式　　[解析] 设直线x+y-1=0与椭圆+=1的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则M,可得kAB==-1,kOM==.因为A,B在椭圆上,所以两式相减得+=0,整理得=·=-,即-kOM=-,所以kOM=.
拓展　A　[解析] 由抛物线y2=4x得其焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得-=4(x1-x2),即=,因为线段AB的中点的纵坐标为1,即y1+y2=2,所以=2,即kAB=2,所以直线AB的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0,所以O到直线AB的距离d==,故选A.

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