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3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件
【学习目标】
　　1.掌握空间向量的线性运算及数量积的坐标表示.
　　2.会判断两个向量的共线或垂直,并能运用这些知识解决一些相关问题.
◆ 知识点一　空间向量的坐标
1.在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作　　　　　　.且对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得　　　　　　.
2.把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作　　　　　　.
3.一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标,即:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=　　　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(x,y,z)既可以表示向量,也可以表示点.(　 )
(2)已知 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量分别为i,j,k,若a=i+2j+3k,则向量a的坐标为(1,2,3). (　 )
(3)若A(0,1,2),B(1,0,1),则向量的坐标为(-1,1,1). (　 )
◆ 知识点二　空间向量运算的坐标表示
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
加法 a+b=　　　　　　　
减法 a-b=　　　　　　　
数乘 λa=　　　　　　　　,λ∈R
数量积 a·b=　　　　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知向量a=(1,-1,-2),b=(-4,2,0),则a+b=(3,-1,2). (　 )
(2)已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,-1,-3),则向量2a-3b+4c的坐标为(16,0,19). (　 )
◆ 知识点三　空间向量平行(共线)和垂直的条件
若b≠0,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
共线 a∥b 　　　　 　　　　　　　(λ∈R)
垂直 a⊥b 　　　　 　　　　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点B的坐标相同. (　 )
(2)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)且b≠0,若a∥b,则==. (　 )
(3)若四边形ABCD是平行四边形,则与的坐标相同. (　 )
◆ 探究点一　空间向量的坐标
例1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.建立如图所示的空间直角坐标系,求:
(1)点B,C1,B1,M,N的坐标;
(2)向量,,的坐标.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且=2a,则点B的坐标为 (　 )
A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)
C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)
(2)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,1),则的坐标是　　　　.
[素养小结]
用坐标表示空间向量的步骤:
◆ 探究点二　空间向量的坐标运算
例2 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·b.
变式 (1)已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且=3,则点C的坐标为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ=　　　　.
(3)已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·(2b)=-2,则实数x=　　　　.
[素养小结]
利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则;进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算.
◆ 探究点三　空间向量平行(共线)和垂直的
条件
例3 已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若a⊥b,则x=　　　　;若a∥b,则x=　　　　.
变式 (1)[2024·浙江宁波高二期中] 点A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若D在线段AB上,且满足CD⊥AB,则点D的坐标为　　　　.
(2)已知空间向量a=(1,0,1),b=(2,-1,0),c=(λ+4,-λ,λ).
①若(a+b)∥c,求λ;
②若ka+b与2a-b相互垂直,求k.
[素养小结]
判断空间向量是否平行(共线)或垂直,可以利用平行(共线)或垂直的充要条件;已知两个向量平行(共线)或垂直求参数值,可以利用平行(共线)或垂直的充要条件列方程(组)求解.
3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件
【课前预习】
知识点一
1.标准正交基　p=xi+yj+zk
2.p=(x,y,z)　3.(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×
知识点二
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)　(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1)　x1x2+y1y2+z1z2
诊断分析 (1)×　(2)×
知识点三
a=λb　x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2　a·b=0
x1x2+y1y2+z1z2=0
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√
【课中探究】
例1　解:(1)∵CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,∴B(0,1,0),C1(0,0,2),B1(0,1,2),M,N(1,0,1).
(2)由(1)知B(0,1,0),N(1,0,1),A1(1,0,2),
∴=(1,-1,1),=(1,-1,2),=(-1,1,-2).
变式　(1)D　(2)(-4,3,1)　[解析] (1)∵a=(-3,4,12),且=2a,∴=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴点B的坐标是(-5,6,24),故选D.
(2)因为=(4,3,1),D为坐标原点,所以B1(4,3,1),又因为几何体ABCD-A1B1C1D1为长方体,所以A(4,0,0),C1(0,3,1),所以=(-4,3,1).
例2　解:2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16).
3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).a·b=3×2+5×1+(-4)×8=-21.
变式　(1)C　(2)　(3)-8　[解析] (1)设C(x,y,z),则=(x-4,y-1,z-3).∵=(-2,-6,-2),=3,∴(-2,-6,-2)=(3x-12,3y-3,3z-9),∴解得∴点C的坐标为.
(2)因为向量a,b,c共面,所以存在x,y∈R,使得c=xa+yb,即解得
(3)由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)·(2b)=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.
例3　　-6　[解析] 若a⊥b,则a·b=-8-2+3x=0,得x=.若a∥b,则==,得x=-6.
变式　(1)　[解析] 设D(x,y,z),则=(x-1,y-4,z-3),=(2,1,1),=(x-1,y-2,z-1),因为D在线段AB上,且满足CD⊥AB,所以即解得所以点D的坐标为.
(2)解:①∵a+b=(3,-1,1),(a+b)∥c,∴(a+b)=μc,μ∈R,即3=μ(λ+4),且-1=-μλ,1=μλ,解得λ=2,μ=.
②∵ka+b=(k+2,-1,k),2a-b=(0,1,2),ka+b与2a-b互相垂直,∴(ka+b)·(2a-b)=2k-1=0,解得k=.

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