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人教版2024-2025学年九年级上册 21.2.2 公式法
课后提升练习
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
一、单选题
1．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
2．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
3．方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．用公式法解方程，得（　　）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
7．若关于x的一元 次 程(k﹣5)﹣2x＋2＝0有实数根，则整数k的最 值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．在下列四个结论中：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则；其正确结论的序号是（ ）．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
10．若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．13
二、填空题
11．方程的根为 ．
12．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
13．对任意的两实数,用表示其中较小的数，如，则方程的解是 .
14．对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ．
15．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①；②；③；④．
三、解答题
16．解下列一元二次方程．
(1) (2)．
17．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．求k的取值范围．
18．关于的一元二次方程，可利用求根公式求解方程：
(1)请写出方程的根的判别式_________；
(2)请利用配方法推导一元二次方程的求根公式．
19．已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为2，试求的值．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当　　时，方程有一个负整数解为．
21．阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
(1)当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：，
∵ ， ，
∴满足要求的矩形B存在．
(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
(3)如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
22．追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）．
（1）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．
变式拓展
（2）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案 并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A A C A C B C
11．.
【详解】试题分析：因为,所以 ,所以 .
故答案是.
考点：解一元二次方程.
12．24
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法及一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元一次不等式组的解法及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
先对关于的一元一次不等式组进行求解，然后再根据一元二次方程根的判别式可得关于a的不等式，进而问题可求解．
【详解】解不等式组得：
，
不等式组至少有2个整数解，
，
解得：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：，且，
a的取值范围为且，
整数a为1、2、3、4，
所有满足条件的整数a的值之积为：，
故答案为：24．
13．，
【分析】此题根据题意可以确定max(2,2x-1)，然后即可得到一个一元二次方程，解此方程即可求出方程的解．
【详解】①当2x-1>2时，∵max（2，2x-1）=2，
∴xmax(2，2x-1)=2x，
∴2x=x+1
解得，x=1，此时2x-1>2不成立；
②当2x-1<2时，∵max（2，2x-1）=2x-1，
∴xmax(2，2x-1)=2x2-x，
∴2x2-x =x+1
解得，，.
故答案为，.
【点睛】本题立意新颖，借助新运算，实际考查解一元二次方程的解法．
14．
【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得，即得，再根据即可求解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，，
∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
15．③
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据方程有两个相等的实数根可得，结合易得，
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
∵，
∴．
将代入，得，
即，
∴，
∴．
故填③．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用公式法解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
，
，
，
解得：；
（2）解：
，
，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17．k<
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根可得，，且，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∵关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
∴的取值范围为：．
18．(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）利用配方法可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：一元二次方程根的判别式为；
故答案为；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、配方法及公式法，熟练掌握一元二次方程根的判别式、配方法及公式法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的根的判别式，证明即可．
（2）根据方程根的定义，代入解答即可．
本题考查了根的判别式应用，根的定义，熟练掌握判别式是解题的关键．
【详解】（1）∵方程即且，
∴，
，
，
故此方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵把代入，
得，
解得，
∴．
20．(1)且
(2)-2
【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，知，解之即可；
（2）将代入方程求解即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且；
（2）是方程的解，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当=0时，方程有两个相等的实数根；③当＜0时，方程无实数根．
21．(1)；2
(2)不存在矩形B
(3)当、满足时，矩形存在
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）套用求根公式求出方程的解；（2）牢记“当时，方程无实数根”；（3）牢记“当时，方程有实数根”．
（1）利用求根公式即可求出方程的两根；
（2）仿照（1）找准关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形；
（3）仿照（1）找准关于的一元二次方程，由根的判别式，可找出、之间的关系．
【详解】（1）利用求根公式可知：，．
故答案为：；2．
（2）设所求矩形的两边分别是和，
根据题意得：，
消去化简得：．
，
该方程无解，
不存在满足要求的矩形．
（3）设所求矩形的两边分别是和，
根据题意得：，
消去化简得：．
矩形存在，
，
．
故当、满足时，矩形存在．
22．（1）方程总有两个不等的实数根，理由见解析；（2）方程总有两个不等的实数根，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
（1）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
（2）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：（1）方程总有两个不等的实数根
理由：原方程整理，得，
，
∵无论取何值，，
∴，
，即原方程总有两个不等的实数根．
（2）方程总有两个不等的实数根．
理由：原方程整理，得，
，
，
设，
∴原方程可化为，
，
∴总有两个不等的实数根，
∴无论取何值，原方程总有两个不等的实数根．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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