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第三章　空间向量与立体几何
§1　空间直角坐标系
1.1　点在空间直角坐标系中的坐标
1.2　空间两点间的距离公式
【学习目标】
　　1.会表示空间中点的坐标.
　　2.能利用空间中两点间的距离公式表示空间中的距离.
【课前预习】
◆ 知识点一　空间直角坐标系
1.如图,过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作　　　,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作　　　,通过每两条坐标轴的平面叫作　　　　　,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2.一般是将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合　　　　　　　,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正方向.我们也称这样的坐标系为　　　　(如图).
【诊断分析】 1.是否任意三条直线均可建立空间直角坐标系
2.一个确定的空间直角坐标系,可以组成几个坐标平面
◆ 知识点二　点在空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序实数组
　　　　来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P(如图).这样,在空间直角坐标系中,任意一点P与三元有序实数组(x,y,z)之间,就建立了一一对应的关系:P (x,y,z).三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的　　　　,记作P(x,y,z),其中x叫作点P的　　　　,y叫作点P的　　　　,z叫作点P的　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x=0,竖坐标z=0. (　 )
(2)在空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z=0. (　 )
(3)关于坐标平面yOz对称的点的纵、竖坐标不变,横坐标相反. (　 )
◆ 知识点三　空间两点间的距离公式
已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则P,Q两点间的距离为　　　　　　　　　　.这就是空间两点间的距离公式.
【诊断分析】 1.空间两点间的距离公式与平面两点间的距离公式有何异同
2.方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9表示什么图形
【课中探究】
◆ 探究点一　点在空间直角坐标系中的坐标
例1 (1)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上,且C1E=3EC.建立如图所示的空间直角坐标系,则点E的坐标为 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,2,0)
B.(0,2,2)
C.(0,2,1)
D.(2,2,1)
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,正方体的棱长为1.建立如图所示的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标.
变式 (1)(多选题)下列关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3)的说法正确的有 (　 )
A.线段OP的中点的坐标为
B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3)
C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3)
D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3)
(2)讨论满足下列条件的点P的坐标(x,y,z)的特征:
①点P在坐标平面上;
②点P在坐标轴上.
[素养小结]
1.已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则线段PQ的中点坐标为.
2.点P(x,y,z)关于坐标原点对称的点的坐标为(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于z轴对称的点的坐标为(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy平面对称的点的坐标为(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz平面对称的点的坐标为(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx平面对称的点的坐标为(x,-y,z).
◆ 探究点二　空间两点间的距离公式
例2 (1)在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则OA=　　　　,点A到yOz平面的距离是　　　　.
(2)(多选题)已知点A(-2,3,4),若在z轴上有一点B,使AB=7,则点B的坐标可能为 (　 )
A.(0,0,10) B.(0,10,0)
C.(0,0,-2) D.(0,0,2)
变式 (1)满足(x-1)2+(y+1)2+(z-2)2=3的所有点(x,y,z)构成的几何图形是 (　 )
A.以点(1,-1,2)为球心,以3为半径的球面
B.以点(1,-1,2)为球心,以为半径的球面
C.以点(-1,1,-2)为球心,以3为半径的球面
D.以点(-1,1,-2)为球心,以为半径的球面
(2)[2024·武汉高二期中] 一束光线自点P(-1,1,1)发出,被yOz平面反射后到达点Q(-3,3,3)被吸收,则光线所走的路程是 (　 )
A.2 B.6
C.2 D.4
[素养小结]
1.空间中点P(x,y,z)到xOy平面的距离为|z|;
空间中点P(x,y,z)到yOz平面的距离为|x|;
空间中点P(x,y,z)到zOx平面的距离为|y|.
2.在求满足条件的点时,可以根据点所在的位置,通过设点的坐标,建立方程(组),解出未知数,即可得到所要求的点的坐标.
◆ 探究点三　空间两点间的距离公式的应用
例3 已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是　　　　三角形.(填“等腰”“等边”或“等腰直角”)
变式 (1)与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)的坐标满足的条件是 (　 )
A.10x+2y+10z-37=0
B.5x-y+5z-37=0
C.10x-y+10z+37=0
D.10x-2y+10z+37=0
(2)已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2),点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点间的距离的最小值是 (　 )
A. B. C.3 D.
[素养小结]
空间两点间的距离公式可以解决与距离有关的问题.解题的一般步骤是将题干中与距离有关的条件利用距离公式表示出来,通过化简、转化等步骤得到所需的结论,也体现了数学中转化与化归的思想.
第三章　空间向量与立体几何
§1　空间直角坐标系
1.1　点在空间直角坐标系中的坐标
1.2　空间两点间的距离公式
【课前预习】
知识点一
1.坐标原点　坐标轴　坐标平面
2.右手螺旋法则　右手系
诊断分析
1.解:不是.必须是两两垂直的三条直线才可建立空间直角坐标系.
2.解:三个.分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.
知识点二
(x,y,z)　坐标　横坐标　纵坐标　竖坐标
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√
知识点三
PQ=
诊断分析
1.解:空间两点间的距离公式和平面两点间的距离公式都是对应坐标的差值平方和的平方根,只不过空间两点间的距离公式多了竖坐标之差的平方.
2.解:方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9可以写成=3,即表示点P(x,y,z)到点(1,1,1)的距离为定值3,故点P的轨迹为球面,即方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=9表示球面.
【课中探究】
例1　(1)C
(2)解:易知点E在xDy平面上的投影为点B,点B的坐标为(1,1,0),又点E的竖坐标为,所以E.连接BD,取BD的中点G,易知点F在xDy平面上的投影为点G,点G的坐标为,又点F的竖坐标为1,所以F.
变式　(1)AD　[解析] 由题意可知线段OP的中点的坐标为,所以A中说法正确;点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),所以B中说法错误;点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),所以C中说法错误;点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,-3),所以D中说法正确.故选AD.
(2)解:①若点P(x,y,z)在坐标平面上,则x,y,z中至少有一个为0,可得xyz=0.
②若点P(x,y,z)在坐标轴上,则x,y,z中至少有两个为0.
例2　(1)3　1　(2)AC　[解析] (1)根据空间两点间的距离公式得OA==3.∵点A(1,2,2),∴点A到yOz平面的距离为1.
(2)设点B的坐标为(0,0,c),由空间两点间的距离公式可得AB==7,解得c=-2或c=10,所以点B的坐标为(0,0,10)或(0,0,-2).故选AC.
变式　(1)B　(2)C　[解析] (1)由题意得=,该方程的几何意义是动点(x,y,z)到定点(1,-1,2)的距离为,则动点(x,y,z)构成的几何图形是以点(1,-1,2)为球心,以为半径的球面.故选B.
(2)点P(-1,1,1)关于yOz平面的对称点为M(1,1,1),则光线所走的路程是MQ==2.故选C.
例3　等腰　[解析] 由空间两点间的距离公式可得AB=,AC=,BC=,又AC2+BC2≠AB2,所以△ABC为等腰三角形.
变式　(1)A　(2)B　[解析] (1)由MA=MB,得(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=(x+2)2+(y-3)2+z2,化简得10x+2y+10z-37=0,故选A.
(2)设点B(x,1-x,0),因为点A(-1,-1,2),所以AB===≥,当且仅当x=,即点B时取等号,所以A,B两点间的距离的最小值是.故选B.

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