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第2课时　空间向量的数量积
【学习目标】
　　1.了解空间向量夹角的相关概念及表示方法.
　　2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.
　　3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
　　4.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
【课前预习】
◆ 知识点一　两个向量的夹角
1.概念:如图,已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a与b的　　　　,记作　　　　.
2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是　　　　,其中当=0时,a与b方向　　　　;当=π时,a与b方向　　　;当=时,称a与b　　　　　　,记作a⊥b.反之,若a∥b,则=0或π;若a⊥b,则=.
3.(1)=;
(2)规定:零向量与任意向量垂直.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与的夹角等于向量与的夹角. (　 )
(2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD的夹角也为α. (　 )
◆ 知识点二　两个向量的数量积
1.概念:已知两个空间向量a,b,把　　　　　叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=　　　　　　　.
2.空间向量数量积的性质
(1)cos=(a≠0,b≠0).
(2)|a|=　　　　　.
(3)a⊥b a·b=　　　　.
3.空间向量数量积的运算律
(1)a·b=　　　　(交换律).
(2)a·(b+c)=　　　　　　(分配律).
(3)(λa)·b=　　　　,λ∈R.
注:不满足结合律(a·b)·c=a·(b·c).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. (　 )
(2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. (　 )
(3)若a·b<0,则是钝角. (　 )
(4)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c). (　 )
◆ 知识点三　投影向量与投影数量
1.投影向量的概念
如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为点B1,称向量为向量b在向量a方向上的　　　　,其长度等于　　　　　　.
当为锐角时,|b|cos 　　　　(如图(1));
当为钝角时,|b|cos　　　　(如图(2));
当=时,|b|cos　　　　(如图(3)).
2.投影数量的概念
若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量,则向量b在向量a方向上的投影向量为=|b|cosa0.
因此,称|b|cos为投影向量的　　　,也称为向量b在向量a方向上的　　　　.
3.向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos=　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1在向量e2方向上的投影向量为e1. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　空间向量的数量积运算
例1 (1)(多选题)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则有 (　 )
A.·=-a2
B.·=a2
C.·=a2
D.·=a2
(2)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,
∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则·=　　　　.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 如图,在各棱长都为2的四面体ABCD中, =,=2,则·= (　 )
A.- 　　　　B.
C.- 　　　　D.
[素养小结]
(1)空间向量数量积运算的两种方法:
①利用a·b=|a||b|cos并结合运算律进行计算.
②先将各向量移到同一起点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤:
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
③代入a·b=|a||b|cos求解.
◆ 探究点二　空间向量数量积的应用
例2 (1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且各棱长均相等,E是PB的中点,则异面直线AE与BD夹角的余弦值为 (　 )
A.1 B. C. D.
(2)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=
∠BAD=,AB=AD=1,A1A=3,点M满足3=,求BD1的长度.
变式 (1)已知四边形ABCD为矩形(AB≠BC),PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是 (　 )
A.与 B.与
C.与 D.与
(2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,AA1=3,∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=60°,则该平行六面体的体对角线AC1的长为(　 )
A. B.5
C.2 D.
(3)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,则cos<,>=　　　　.
[素养小结]
(1)求两个向量的夹角:利用公式cos=求出cos,进而确定.
(2)求线段长度(两点间的距离):①取此线段(以此两点为端点的线段)对应的向量;②用其他已知夹角和模的向量表示该向量;③利用|a|=,计算出|a|,即得所求线段长度(两点间的距离).
◆ 探究点三　投影向量与投影数量
例3 (1) 已知|a|=4,空间向量e为单位向量,=,则空间向量a在向量e方向上的投影数量为 (　 )
A.2 B.-2 C. - D.
(2)如图所示,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AB=2.
①指出向量分别在,方向上的投影向量;
②求向量在方向上的投影数量.
变式 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,则在向量上的投影向量为　　　　.(从“”“”“”“”“”“”中选填)
[素养小结]
(1)求投影向量的方法
①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.
②首先根据题意确定向量a的模、与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ,然后依据公式|a|cos θ·e得到a在b方向上的投影向量.
(2)a在b方向上的投影数量为|a|cos=.
第2课时　空间向量的数量积
【课前预习】
知识点一
1.夹角　　2.[0,π]　相同　相反　互相垂直
诊断分析 (1)×　(2)×
知识点二
1.|a||b|cos　|a||b|cos　2.(2)　(3)0
3.(1)b·a　(2)a·b+a·c　(3)λ(a·b)
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×
知识点三
1.投影向量　||b|cos|　>0　<0　=0
2.数量　投影数量　3.=a0·b
诊断分析 ×
【课中探究】
例1　(1)AC　(2)14　[解析] (1)·=·(++)=·=-a2,故A正确;·=·=·(+)=·=a2,故B错误;·=·(+)=·=a2,故C正确;·=·=·(+)=-·=-a2,故D错误.故选AC.
(2)由题易得=++,则·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14.
变式　A　[解析] 由题得,的夹角,,的夹角,,的夹角均为.∵=,=2,∴=(+),=,∴=-=+-=+-=+(-)-=-+,∴·=(+)·=·--·+·+=×2×2×-×22-×2×2×+×2×2×+×22=-.故选A.
例2　(1)D　[解析] 设四棱锥P-ABCD的各条棱的长均为2,则BD=2,由E是PB的中点,得AE=,显然,,不共面,=-,=(+),因为∠BAD=90°,∠PAD=∠PAB=60°,所以·=(-)·(+)=(·+·--·)=(2×2×cos 60°-22-2×2×cos 60°)=-2,则cos<,>===-,所以异面直线AE与BD夹角的余弦值为.故选D.
(2)解:因为=-+=-+,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,AB=AD=1,AA1=3,
所以=+++2·-2·-2·=1+1+9+3-3-1=10,故BD1=||=.
变式　(1)A　(2)A　(3)　[解析] (1)因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD,·=0,排除D.因为AD⊥AB,AD⊥PA,AB∩PA=A,所以AD⊥平面APB,又PB 平面APB,所以AD⊥PB,所以·=0,同理·=0,排除B,C.故选A.
(2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1如图所示,连接AC,由图知=+,=+,∴=++,则=(++)2=+++2·+2·+2·,∵AB=2,AD=2,AA1=3,∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=60°,∴=4+4+9+4+6+6=33,故AC1=||=.故选A.
(3)∵CA=CB,∠BCA=90°,
∴∠ABC=45°,·=(+)·(+)=·+·+·+·,∵·=||||·cos(180°-∠ABC)=×1×cos 135°=-1,·=0,·=0,·=4,∴·=-1+0+0+4=3,又||·||=×=,∴cos<,>==.
例3　(1)B　[解析] 空间向量a在向量e方向上的投影数量为|a|cos=4×=-2.故选B.
(2)解:①连接A1E1,根据正六棱柱的性质,知DD1⊥AD,D1E1⊥平面A1E1EA,又AE1 平面A1E1EA,所以D1E1⊥AE1,所以向量在方向上的投影向量为,向量在方向上的投影向量为.
②向量在方向上的投影数量为||·cos∠E1AE=||=2.
变式　　[解析] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,则BC⊥CD,BC∥AD,BC=AD,即=.由PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,得PD⊥BC,又PD∩CD=D,PD,CD 平面PCD,所以BC⊥平面PCD,又PC 平面PCD,所以BC⊥PC,故向量在向量上的投影向量为,所以向量在向量上的投影向量为.

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