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§2　空间向量与向量运算
2.1　从平面向量到空间向量2.2　空间向量的运算
第1课时　空间向量的概念及运算
【学习目标】
　　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念.
　　2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
　　3.掌握空间向量的线性运算.
【课前预习】
◆ 知识点一　空间向量的相关概念
名称 定义 注意事项
空间 向量 在空间中,具有　　　和　　　的量 ①几何表示法:空间向量用　　　　表示,以点A为起点,点B为终点的有向线段可以表示一个向量,记作向量; ②字母表示法:用字母a,b,c,…表示,书写用　　　　表示; ③图形表示法:
(续表)
名称 定义 注意事项
向量 的模 (长度) 空间向量a的　　　　,也就是表示向量a的有向线段AB的　　　　 可表示成　　　或　　　
零向量 模为　　　　的向量 记作　　　;零向量的起点与终点重合,方向为　　　
单位向量 模为　　　　的向量
相等向量 　　　　相同且模相等的向量叫作相等向量 数学中所研究的向量,与向量的起点无关,称之为　　　
(续表)
名称 定义 注意事项
相反 向量 与向量a方向　　　　且模　　　的向量 向量a的相反向量是　　
共线(平行)向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或　　　　 时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量) ①相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况; ②向量a、向量b、向量c互为共线向量,记作a∥b,　　　　　　; ③零向量与任意向量　　　
共面 向量 能平移到同一平面内的三个向量叫作　　　 空间中,任意两个向量总是共面的
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当有向线段的起点A与终点B重合时,=0.(　 )
(2)在空间中,单位向量唯一. (　 )
(3)同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小. (　 )
(4)若向量a与b的模相等,则a=±b. (　 )
(5)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. (　 )
◆ 知识点二　空间向量的线性运算
1.空间向量的自由性
空间中任意两个向量都是共面向量,所以空间中涉及两个向量的运算,都可以由　　　　　的运算推广而来,而涉及三个向量的运算时,则需要结合具体情况进行分析.
2.空间向量的线性运算
运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律
加法 求空间向量　　的运算 　　　　法则 　　　　　法则 (1)加法交换律: a+b=　　　; (2)加法结合律: (a+b)+c=　　　　
(续表)
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
减法 与平面向量类似,空间向量a,b的差也可定义为　　　 　　　　法则 a-b=　　　
数乘 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个　　　,这种运算叫作空间向量的　　　　,记作　　　 (1)|λa|=　　　　. (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　;当λ<0时,λa与a的方向　　　　;当λ=0时,λa=　　　　 (1)对数乘运算的结合律: λ(μa)=　; (2)对向量加法的分配律: λ(a+b)=　　　　; (3)对实数加法的分配律: (λ+μ)a=　　　　. 其中λ∈R,μ∈R
3.对于任意一个非零向量a,当λ=时,λa=表示与向量a同方向的　　　　　　.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量的长度与向量的长度相等. (　 )
(2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同. (　 )
(3)零向量没有方向. (　 )
2.对于三个不共面的向量a,b,c,在空间中取任意一点O,作=a,=b,=c,以OA,OB,OC为过同一顶点的三条棱作平行六面体,则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面体的　　　　　　所表示的向量.
3.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同 平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗
◆ 知识点三　空间向量共线与共面的充要条件
1.共线向量基本定理(也称“一维向量基本定理”)
空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得　　　　.
2.共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量c与向量a,b共面的充要条件是存在唯一实数x,y,使得　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若p=xa+yb,则p与a,b共面. (　 )
(2)若p与a,b共面,则p=xa+yb. (　 )
(3)若a,b共线,则存在唯一实数λ,使得a=λb. (　 )
(4)若a=λb,则a,b共线. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　空间向量的相关概念
例1 (1)(多选题)[2024·成都高二期中] 下列说法正确的是 (　 )
A.零向量没有方向
B.空间向量不能比较大小,空间向量的模可以比较大小
C.如果两个向量不相等,那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1,以该长方体的八个顶点中的两个点为起点和终点的向量中,单位向量共有　　　　个,模为的所有向量为　　　　　　　　　　　　.
变式 (多选题)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中 (　 )
A.单位向量有8个
B.与相等的向量有3个
C.向量的相反向量有4个
D.向量,,共面
[素养小结]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点:
(1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即模和方向.
(2)注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量.
◆ 探究点二　空间向量的加减法
例2 (1)在空间中,下列结论正确的是 (　 )
A.=+
B.=++
C.=+-
D.=+
(2)如图,在四面体PABC中,--= (　 )
A. 　　　B.
C. 　　　D.
变式 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列式子中正确的是　　　　.(填序号)
①-=;②=++;
③=;④+++=.
[素养小结]
空间向量线性运算的技巧:
(1)向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.
◆ 探究点三　空间向量的数乘运算
例3 (a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)= (　 )
A.2a+b-2c
B.2a+b-2c
C.2a-b-2c
D.2a-b-2c　　　　　 　　　　　 　　　　　
例4 如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在棱OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,试用向量a,b,c表示.
变式 如图,在四面体ABCD中,E,F分别为BC,AE的中点,G为△ACD的重心,则= (　 )
A.-++
B.-++
C.-+
D.+-
[素养小结]
(1)判断向量共线的方法:利用已知条件找到实数λ,使a=λb(b≠0)成立,或运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb(b≠0),从而得出a与b共线.
(2)证明空间三点共线的思路:对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明P,A,B三点共线.
①存在实数λ,使=λ成立.
②对空间任一点O,有=+t(t∈R).
③对空间任一点O,有=x+y(x+y=1).
§2　空间向量与向量运算
2.1　从平面向量到空间向量
2.2　空间向量的运算
第1课时　空间向量的概念及运算
【课前预习】
知识点一
大小　方向　有向线段　, , ,…　大小　长度　|a|
||　0　0　任意方向　1　方向　自由向量　相反　相等
-a　重合　a∥c,b∥c　平行　共面向量
诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
知识点二
1.平面向量
2.和　三角形　平行四边形　b+a　a+(b+c)　a+(-b)
三角形　a+(-b)　向量　数乘运算　λa　|λ||a|　相同
相反　0　(λμ)a　λa+λb　λa+μa
3.单位向量
诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)×　　2.体对角线
3.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内,所以任意两个空间向量的运算可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.
平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.
知识点三
1.a=λb　2.c=xa+yb
诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√
【课中探究】
例1　(1)BD　(2)8　,,,,,,,
变式　ABC　[解析] 对于A,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,单位向量的模为1,则单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;对于B,由图可知,与相等的向量有,,,共3个,故B正确;对于C,由图可知,向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;对于D,∵=,向量,,有一个公共点A1,点A1,B1,D1都在平面A1B1C1D1内,点A在平面A1B1C1D1外,∴向量,,不共面,故D错误.故选ABC.
例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)根据空间向量的加、减法运算可得B正确.
(2)--=---(-)=-=.故选C.
变式　①②③　[解析] -=+=,①正确;++=++=,②正确;③显然正确;+++=++=,④错误.故填①②③.
例3　B　　[解析] 原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.故选B.
例4　解:=++=a+(b-a)+(c-b)=-a+b+c.
变式　B　[解析] 因为E,F分别为BC,AE的中点,所以==(+).因为G为△ACD的重心,所以=(+),所以=-=(+)-(+)=-++.故选B.

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