资源简介

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1　空间向量基本定理
【学习目标】
　　了解空间向量基本定理及其意义,并能用基本定理解决一些几何问题.
◆ 知识点　空间向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.空间向量基本定理
如果向量a,b,c是空间三个　　　　的向量, p是空间任意一个向量,那么存在
　　　　的三元有序实数组(x,y,z),使得　　　　　　,我们把{a,b,c}叫作空间的一组　　　　,a,b,c都叫作　　　　.空间任意三个　　　　的向量都可以构成空间的一组基.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中的任何一个向量都可用三个给定的向量表示. (　 )
(2)若{a,b,c}为空间的一组基,则a,b,c全不是零向量. (　 )
(3)若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一组基,则a与b一定共线. (　 )
◆ 探究点一　空间向量基本定理
角度1　一组基的判定
例1 (1)下列说法正确的是 (　 )
A.任何三个不共线的向量可以构成空间的一组基
B. 空间的基有且仅有一组
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基
D. 已知a∥b,则存在向量c可以与向量a,b构成空间的一组基
(2)已知{a,b,c}是空间的一组基,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p,q构成空间的另一组基的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a B.b
C.c D.p-2q
变式 (多选题)已知i,j,k是空间中三个向量,则下列说法中错误的是 (　 )
A.对于空间中的任意一个向量m,总存在实数x,y,z,使得m=xi+yj+zk
B.若i,j,k能构成空间的一组基,则i-3j,j+k,k-2i也能构成空间的一组基
C.若i⊥j,k⊥j,则i∥k
D.若i,j,k所在直线两两共面,则i,j,k共面
[素养小结]
一组基的判断思路:判断给出的三个空间向量能否构成空间的一组基,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程,若方程的解唯一,则三个向量共面;否则,三个向量不共面.
角度2　用一组基表示空间向量
例2 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);(2);(3)+.
变式 (1)如图,在四面体ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,点G是线段EF上靠近点E的三等分点,令=a,=b,=c,则= (　 )
A.a+b+c
B.a+b+c
C.a-b+c
D.a-b+c
(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,M是棱PC的中点,设=a,=b,=c.
①试用a,b,c表示向量;
②若AM交平面PBD于点N,用a,b,c表示向量.
[素养小结]
用一组基表示向量的步骤:
(1)定一组基:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一组基.
(2)找目标:用确定的一组基(或已知一组基)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间的一组基{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
◆ 探究点二　空间向量基本定理的应用
角度1　共线的判定和证明
例3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
变式 在四面体OABC中,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,若=++,则使G与M,N共线的x的值为 (　 )
A.1 B.2 C. D.
[素养小结]
用空间向量基本定理证明三点共线问题:首先将需要证明的三点表示成共端点的向量,再将该向量用同一组基表示出来,证明它们共线,再由共端点可得三点共线.
角度2　共面的判定和证明
例4 (1)[2024·湖北黄冈高二期中] 对空间任意一点O和不共线三点A,B,C,以下条件中能得到A,B,C,D四点共面的是 (　 )
A.=+2-3
B.=++
C.=2-2-
D.=+-
(2)[2024·河北保定高二期中] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,点F满足=m.若B,D,A1,F四点在同一个平面上,则m= (　 )
A. B. C. D.
变式 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明:E,F,G,H四点共面.
[素养小结]
证明四点共面时,可以利用共面向量定理,把其中一个向量用另外两个不共线的向量表示.
§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1　空间向量基本定理
【课前预习】
知识点
2.不共面　唯一　p=xa+yb+zc　基　基向量　不共面
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√
【课中探究】
例1　(1)C　(2)C
变式　ACD　[解析] 对于A,由空间向量基本定理可知,只有当i,j,k不共面时,i,j,k才能构成空间的一组基,才能得到m=xi+yj+zk,故A中说法错误;对于B,若i,j,k能构成空间的一组基,则i,j,k不共面,设i-3j=λ(j+k)+μ(k-2i)=λj-2μi+(λ+μ)k,则易知该方程组无解,所以i-3j,j+k,k-2i也不共面,所以i-3j,j+k,k-2i也能构成空间的一组基,故B中说法正确;对于C,若i⊥j,k⊥j,则i,k不一定平行,故C中说法错误;对于D,若i,j,k所在直线两两共面,则i,j,k不一定共面,故D中说法错误.故选ACD.
例2　解:(1)∵P是C1D1的中点,∴=++=a++=a+c+=a+c+b.
(2)∵N是BC的中点,∴=++=-a+b+=-a+b+c.
(3)∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+=a+b+c,又=+=+=c+a,∴+=+=a+b+c.
变式　(1)A　[解析] 连接EC,ED,则=+=+=+×(+)=+(-+-)=++=×++=a+b+c.故选A.
(2)解:①由题意知=(+)=(-+)=(c-a+b)=-a+b+c.
②如图,连接AC,与BD交于点O,连接PO,则平面PAC∩平面PBD=PO,
因为AM交平面PBD于点N,AM 平面PAC,所以PO∩AM=N.
因为底面ABCD是正方形,所以O为AC的中点,所以=+=+.因为A,N,M三点共线,所以设=λ(λ∈(0,1)),所以-=λ(-),所以=λ+(1-λ).因为P,N,O三点共线,所以设=μ(μ∈(0,1)),所以=μ+μ(μ∈(0,1)),所以μ+μ=λ+(1-λ).因为,不共线,所以解得μ=λ=,所以==(+)==a+b+c.
例3　证明:如图,连接EF,FB,A1B.∵=-=-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥.又与有公共点F,∴E,F,B三点共线.
变式　A　[解析] 由题意知=(+),=.因为G,M,N三点共线,所以存在实数λ使得=λ+(1-λ)=(+)+=++,又=++,所以解得故选A.
例4　(1)B　(2)B　[解析] (1)对于A选项,1+2-3=0≠1,故A不符合题意;对于B选项,++=1,故B符合题意;对于C选项,2-2-1=-1≠1,故C不符合题意;对于D选项,+-1=0≠1,故D不符合题意.故选B.
(2)设=a,=b,=c,则=++=a+b+c,可得=+=-a+m=(m-1)a+mb+c,由题意知=+=b-a,=+=c-a.因为B,D,A1,F四点共面,所以存在实数x,y,使=x+y,所以(m-1)a+mb+c=x(b-a)+y(c-a)=(-x-y)a+xb+yc,所以解得故选B.
变式　证明:连接BD,EF,FG,GH,EH,EG,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD∥FG,且EH=FG=BD,则==,所以=+=+,即,,共面,又它们有公共点E,所以E,F,G,H四点共面.

展开更多......

收起↑