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第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示
【学习目标】
　　掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.
◆ 知识点　空间向量的长度、夹角
若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
向量长度 |a|==　　　　　　　
向量夹角公式 cos==　　　　　　　　　　　　(a≠0,b≠0)
空间两点间的距离公式:设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则=　　　　　　,P1P2=||=　　　　　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)||=|+|=||+||. (　 )
(2)a·b>0 为锐角. (　 )
(3)与非零向量a同方向的单位向量为. (　 )
◆ 探究点一　空间向量的长度
例1 (1)已知a=(1,2,-3),b=(1,-4,0),则|a-b|=　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)[2024·天津高二期中] 向量a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),a⊥b,则|2a+b|= (　 )
A.9 B.3 C.1 D.3
变式 已知x∈R,若a=(1+x,1,x),b=(0,2x,x),那么|a-b|的最小值为　　　　.
[素养小结]
求空间向量的长度要先找到空间向量的坐标,再根据公式求值,注意与空间两点间的距离公式的联系.
◆ 探究点二　空间向量的夹角
例2 (1)已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则与的夹角是 (　 )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
(2)已知{i,j,k}是空间向量的一组标准正交基,且=-i+j-k,=2i+j+k,则与夹角的余弦值为 (　 )
A. B.-
C. D.-
变式 (1)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a=(2,-1,1),b=(1,2,t),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　　　　.
[素养小结]
1.利用空间向量的坐标运算求夹角的一般步骤:
(1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标.
(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算.
(4)转化:转化为夹角问题.
2.空间中两向量的夹角的取值范围为[0,π],空间中两直线的夹角的取值范围为.
◆ 探究点三　空间向量长度与夹角的综合问题
例3 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分别为AB,SC,SD的中点,AB=a,SD=b.
(1)求||;
(2)求cos<,>.
变式 若A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),则△ABC的形状是　　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
[素养小结]
1.空间中两直线的夹角α的取值范围为,而空间中两向量的夹角β的取值范围为[0,π],故利用空间向量求两直线的夹角时应注意cos α=|cos β|.
2.在利用夹角公式判断锐角或钝角时,一定要注意特殊角:0°和180°.
3.在利用空间向量解决立体几何问题时,需要建立恰当的坐标系,将几何问题转化为坐标的运算问题.
拓展 [2024·杭州二中高二期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是 (　 )
A. B.
C.[1,] D.[,]
第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示
【课前预习】
知识点
　
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√
【课中探究】
例1　(1)3　(2)A　[解析] (1)由题意,a-b=(0,6,-3),∴|a-b|===3.
(2)因为a⊥b,所以a·b=-8-2+2x=0,解得x=5,则2a+b=2(2,-1,2)+(-4,2,5)=(0,0,9),所以|2a+b|=9.故选A.
变式　　[解析] 因为a=(1+x,1,x),b=(0,2x,x),所以a-b=(1+x,1-2x,0),所以|a-b|===,所以当x=时,|a-b|取得最小值,最小值为.
例2　(1)C　(2)D　[解析] (1)由题意得=(-1,1,0),=(0,3,3),故cos<,>==,所以与的夹角为60°.
(2)因为{i,j,k}是空间向量的一组标准正交基,所以=-i+j-k=(-1,1,-1),=2i+j+k=(2,1,1),设与的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ===-.故选D.
变式　(1)C　(2)(-∞,0)　[解析] (1)由题意可得a+b=(-1,-2,-3)=-a,且|a|=.又(a+b)·c=7,所以-a·c=7,即-|a|·|c|cos=-14cos=7,所以cos=-.又0≤≤π,所以=.故选C.
(2)因为向量a=(2,-1,1),b=(1,2,t),且a与b的夹角为钝角,所以a·b=1×2+2×(-1)+t×1<0,解得t<0,又≠,所以a与b不共线,综上可得实数t的取值范围为(-∞,0).
例3　解:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DS所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,F,G,=,=,=
(-a,0,0).
(1)||==.
(2)cos<,>===.
变式　锐角　[解析] 因为A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),所以=(-5,-1,-3),=(-2,3,-1),=(3,4,2),所以||==,||==,||==,所以在△ABC中,AB边最长,内角C最大,所以·=(2,-3,1)·(-3,-4,-2)=-6+12-2=4>0,显然,不共线,所以C为锐角,故△ABC为锐角三角形.
拓展　A　[解析] 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,1,1).∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,∴可设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),则=(x,y,-1).∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,∴y=1-x,∴||2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,∴当x=时,||2取得最小值,此时线段A1P的长度为,当x=0或x=1时,||2取得最大值2,此时线段A1P的长度为,故线段A1P长度的取值范围是.故选A.

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