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§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
【学习目标】
　　1.能用向量语言描述直线和平面.
　　2.理解直线的方向向量与平面的法向量.
◆ 知识点一　空间元素的向量表示
1.空间中点的向量表示
如图,在空间中取一个　　　　,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示,向量就是点P的　　　　　　.
2.直线的方向向量与直线的向量表示
(1)直线的方向向量:如图所示,设A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的　　　　　　.显然,一条直线有　　　　方向向量,与平行的　　　　　　　　也是直线l的方向向量.
(2)直线的向量表示:如图,已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量.那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得　　　　.反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为　　　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (　 )
(2)若A(2,1,1),B(1,2,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(-2,2,2). (　 )
◆ 知识点二　点在直线上的充要条件
点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O,存在实数t使得=　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若空间中的点P满足=+t,则点P在直线AB上. (　 )
(2)若A(2,1,1),B(1,2,2)在直线l上,则点 C(-2,3,-2)也在直线l上. (　 )
◆ 知识点三　平面的法向量及其求法
1.平面的法向量
平面的法向量 如果一条直线l与一个平面α　　　　,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量
确定平面位置 如图,过点A且以向量a为法向量的平面可以表示为集合　　　　
在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤 (1)设平面的法向量为n=(x,y,z); (2)找出(求出)平面内的两个　　　　的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的　　　　,即得平面的一个法向量
2.平面α的方程
设平面α内一点M(x0,y0,z0),平面α的法向量n=(A,B,C),则对于平面α内任意一点P(x,y,z),有·n=0,则平面α的方程为　　　　　　　　　　　　.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
若向量n1,n2为同一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行. (　 )
2.平面的法向量有几个 它们的关系是怎样的
◆ 探究点一　直线的方向向量
例1 (1)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,2,4) B.(1,4,2)
C.(2,1,4) D.(4,2,1)
(2)(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1,C重合的任意一点,则能作为直线AA1的方向向量的是 (　 )
A. B.
C. D.
变式 从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则点B的坐标为 (　 )
A.(18,17,-17) B. (-14,-19,17)
C. D.
[素养小结]
求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点,然后用所给的基向量表示以这两个点为起点和终点的向量.直线的方向向量不唯一.
拓展 下列直线的方向向量的坐标具有什么特征
(1)平行于各坐标轴的直线;
(2)平行于xOy平面的直线(该直线与x轴、y轴都不平行).
◆ 探究点二　点在直线上的充要条件
例2 已知空间三点A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一条直线上,则实数k的值是 (　 )
A.2 B.4
C.-4 D.-2
变式 (1)在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,则=　　　　.
(2)在四面体OABC中,点M,N分别为OA,BC的中点,若=+x+y,且G,M,N三点共线,则x+y=　　　　.
[素养小结]
求解与A,B,C三点共线有关的参数问题的一般步骤:
①由点在直线上的充要条件列出等式:=(1-t)+t.
②将A,B,C三点的坐标代入上式.
③由对应坐标相等得到方程组,解方程组即可.
◆ 探究点三　平面的法向量
角度1　求平面的法向量
例3 (1)已知A(3,4,0),B(2,5,2),C(0,3,2),则平面ABC的一个单位法向量是　　　　　　.
(2)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PD⊥平面ABCD,∠DAB=45°,AD⊥BD,AB=.以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,写出平面PCD的一个法向量的坐标.
变式 已知n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,点A(0,-3,-1),B(k,2k,2)在平面α内,则k=　　　　.
[素养小结]
利用待定系数法求平面的法向量的步骤:
①设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
②选向量:在平面内选取两个不共线的向量,.
③列方程组:由列出方程组并解方程组.
④赋非零值:令x,y,z中的一个未知数为非零值(常取±1),得到平面的一个法向量.
角度2　求平面的方程
例4 写出经过A(3,2,1)且与直线l的方向向量n=(-1,3,4)垂直的平面α的方程.
变式 在空间直角坐标系O-xyz中,平面α过点P0(2,0,-1),它的一个法向量为n=(3,1,-1).设点P(x,y,z)为平面α内任意一点,则点P(x,y,z)的坐标满足的方程为 (　 )
A.3x+y+z-5=0
B.3x+y+z-7=0
C.3x+y-z-7=0
D.3x+y-z-5=0
[素养小结]
求平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n=(A,B,C),然后利用A(x-xα)+B(y-yα)+C(z-zα)=0((xα,yα,zα)为平面α内一点的坐标)可得.
§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
【课前预习】
知识点一
1.定点O　位置向量
2.(1)方向向量　无数个　任意非零向量a
(2)=ta　直线l的向量表示
诊断分析 (1)×　(2)√
知识点二
(1-t)+t
诊断分析 (1)√　(2)×
知识点三
1.垂直　{P|a·=0}　不共线　a2x+b2y+c2z=0
一组解
2.A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
诊断分析 1.×
2.解:平面的法向量有无数个,它们是平行向量.
【课中探究】
例1　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与共线,是直线l的一个方向向量.故选A.
(2)显然与能作为直线AA1的方向向量,故A,D满足题意;因为∥,≠0,所以能作为直线AA1的方向向量,故B满足题意;因为与不共线,所以不能作为直线AA1的方向向量,故C不满足题意.故选ABD.
变式　A　[解析] 设点B的坐标为(x,y,z),则=λa(λ>0),即 (x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12),由 ||=34,即=34,可得λ=2,所以x=18,y=17,z=-17,则点B的坐标为(18,17,-17),故选A.
拓展　解:(1)平行于x轴的直线的方向向量为n1=(x0,0,0)(x0≠0),平行于y轴的直线的方向向量为n2=(0,y0,0)(y0≠0),平行于z轴的直线的方向向量为n3=(0,0,z0)(z0≠0).
(2)平行于xOy平面的直线(该直线与x轴、y轴都不平行)的方向向量为n4=(x1,y1,0)(x1,y1≠0).
例2　C　[解析] 在空间中取一点O(0,0,0),∵A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4-k)在一条直线上,∴存在实数t,使得=(1-t)+t=(0,1-t,2-2t)+(t,3t,5t)=(t,1+2t,2+3t)=(2,5,4-k),得t=2,k=-4.故选C.
变式　(1)　(2)　[解析] (1)依题意知=(1,2,3),=(1,0,-2),因为点D是直线AB上的一点,所以存在实数λ,使得=λ,则=+=+λ=(1+λ,2λ,-2+3λ).因为CD⊥AB,所以·=0,即(1+λ)+2(2λ)+3(-2+3λ)=0,解得λ=,所以=.
(2)若G,M,N三点共线,则存在实数λ使得=λ+(1-λ)=++成立,所以=,可得λ=,所以x=y==,可得x+y=.
例3　(1)(答案不唯一)　[解析] 由题知,=(-1,1,2),=(-3,-1,2),设m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,则令y=-1,则m=(1,-1,1),故平面ABC的一个单位法向量是=.
(2)解:因为∠DAB=45°,AD⊥BD,AB=,所以AD=BD=1,设PD=m(m>0),则P(0,0,m),C(-1,1,0),D(0,0,0),所以=(-1,1,-m),=(-1,1,0).
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则取x=1,得n=(1,1,0),
所以平面PCD的一个法向量的坐标为(1,1,0).
变式　9　[解析] 由题意得=(k,2k+3,3),因为n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,点A,B在平面α内,所以n⊥,所以n·=(-3,1,2)·(k,2k+3,3)=-3k+2k+3+6=0,解得k=9.
例4　解:设P(x,y,z)为平面α内的任意一点,则=(x-3,y-2,z-1),∵直线l的方向向量n=(-1,3,4)垂直于平面α,∴·n=-1×(x-3)+3(y-2)+4(z-1)=0,
整理得平面α的方程为x-3y-4z+7=0.
变式　C　[解析] 因为P0(2,0,-1),P(x,y,z),所以=(x-2,y,z+1),由已知得⊥n,又n=(3,1,-1),所以·n=3(x-2)+y-(z+1)=0,整理得3x+y-z-7=0,故选C.

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