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4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
第1课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系
【学习目标】
　　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
　　2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行的判定定理.
◆ 知识点　用空间向量描述空间线面的平行
关系
设不重合的直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,不重合的平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
平行关系 对应线面 图形 满足条件
线线 平行 l1与l2 l1∥l2 　　　　 λ∈R,u1=　
(续表)
平行关系 对应线面 图形 满足条件
线面平行 l1与α(l1 α) l1∥α 　　　　 u1·n1=　　　　
面面平行 α与β α∥β 　　　　 λ∈R,n1=　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. (　 )
(2)若一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. (　 )
(3)若两条不同的直线l1,l2的方向向量分别为a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),则l1∥l2. (　 )
(4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. (　 )
◆ 探究点一　空间向量与平行关系
例1 (1)设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.l∥α B.l α
C.l⊥α D.l α或l∥α
(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,
则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (　 )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
(3)若直线l的一个方向向量为m,平面α的一个法向量为n,则可能使l∥α的是 (　 )
A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.m=(0,2,1),n=(-1,0,1)
C.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)
D.m=(1,2,3),n=(1,0,1)
变式 (1)已知直线l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1).若l∥α,则λ=　　　　.
(2)若平面α的一个法向量为m=,平面β的一个法向量为n=,α∥β,则实数z=　　　　.
[素养小结]
利用空间向量判断立体几何中的平行关系的解题思路.
(1)判断两直线平行:找到两直线的方向向量a,b,判断是否存在实数λ,使得b=λa.
(2)判断线面平行:找到直线的方向向量a和平面的法向量b,判断这两个向量是否垂直,即判断a·b是否为0.
(3)判断面面平行:找到两个平面的法向量i,j,判断这两个向量是否平行,即判断是否存在实数λ,使得i=λj.
◆ 探究点二　利用空间向量证明平行关系
例2 如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点.
(1)求证:FC1∥平面ADE;
(2)求证:平面ADE∥平面B1C1F.
变式 如图,已知点P是正方形ABCD所在平面外一点,点M,N分别是PA和BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求证:直线MN∥平面PBC.
[素养小结]
空间平行关系的解题策略
几何法 向量法
线线 平行 对于直线l,m,n和平面α,β, (1)若l∥m,l∥n,则m∥n; (2)若l⊥α,m⊥α,则l∥m; (3)若l∥α,l β,α∩β=m,则l∥m 若直线l,m的方向向量共线,则l∥m
线面 平行 对于直线m,n和平面α, (1)若m⊥α,m⊥n,n α,则n∥α; (2)若m α,n α,m∥n,则m∥α 若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直且l α,则l∥α
面面 平行 对于直线l,m和平面α,β, (1)若l α,m α,l∥β,m∥β,且l∩m=A,则α∥β; (2)若l⊥α,l⊥β,则α∥β 若平面α,β的法向量共线,则α∥β
拓展 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,D,E分别是棱BC,CC1上的点,且AD⊥BC.
(1)求证:直线A1F∥平面ADE.
(2)若△ABC是正三角形,E为C1C的中点,能否在棱B1B上找到一点N,使得A1N∥平面ADE 若存在,确定该点的位置;若不存在,请说明理由.
4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
第1课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系
【课前预习】
知识点
u1∥u2　λu2　u1⊥n1　0　n1∥n2　λn2
诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√
【课中探究】
例1　(1)D　(2)B　(3)C　[解析] (1)∵a·b=0,∴l α或l∥α.
(2)如图所示,以C1为原点,C1B1,C1D1,C1C所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),∴M,N,∴=.易知=(0,a,0)是平面BB1C1C的一个法向量,而·=-×0+0×a+×0=0,∴⊥,又MN 平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.
(3)由题知,当m·n=0时,l∥α或l α.A选项中,m·n=(1,0,0)·(-2,0,0)=-2;B选项中,m·n=(0,2,1)·(-1,0,1)=1;C选项中,m·n=(1,-1,3)·(0,3,1)=0-3+3=0;D选项中,m·n=(1,2,3)·(1,0,1)=1+0+3=4.故选C.
变式　(1)2　(2)3　[解析] (1)因为直线l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1),且l∥α,所以e⊥n,则e·n=1×2-2λ+(-2)×(-1)=0,解得λ=2.
(2)∵α∥β,∴m∥n,∴存在λ∈R,使得=λ,得λ=-,z=3.
例2　证明:(1)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),则=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则即
取z1=2,则n1=(0,-1,2).因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1.又FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(2)由(1)知,=(0,2,1),=(2,0,0).设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,由n2⊥,n2⊥,得取z2=2,则n2=(0,-1,2).因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
变式　证明:∵=++=-++=-(-)++(+)=-+=-,∴与,共面,
∵MN 平面PBC,∴MN∥平面PBC.
拓展　解:(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连接DF,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴D是BC的中点,
又∵F为B1C1的中点,∴DF∥AA1且DF=AA1,
∴四边形DFA1A是平行四边形,∴A1F∥AD,
∵A1F 平面ADE,AD 平面ADE,∴A1F∥平面ADE.
(2)能在棱B1B上找到一点N,使得A1N∥平面ADE.证明如下:
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵DF∥AA1,∴DF⊥AD,DF⊥DC,又∵AD⊥BC,∴DA,DC,DF两两垂直,以D为原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,DF所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设A1B1=2,AA1=2t,则A(0,,0),D(0,0,0),E(1,0,t),A1(0,,2t),则=(0,,0),=(1,0,t),又点N在棱B1B上,设BN=λBB1,0≤λ≤1,则N(-1,0,2λt),∴=(-1,-,2λt-2t).设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,得n=(-t,0,1),
∵A1N∥平面ADE,∴·n=t+0+2λt-2t=0,解得λ=,∴在棱B1B上存在一点N,且BN=BB1,使得A1N∥平面ADE.

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