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第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系
【学习目标】
　　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
　　2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直的判定定理.
◆ 知识点一　用空间向量描述空间线面的垂直
关系
设不重合的两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,不重合的两个平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
垂直关系 对应线面 图形 满足条件
线线 垂直 l1与l2 l1⊥l2 　　　 　　　　
线面 垂直 l1与α l1⊥α 　　　 λ∈R,　　　　
面面 垂直 α与β α⊥β 　　　 　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两条直线的方向向量垂直,则这两条直线垂直. (　 )
(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同时,直线与平面垂直. (　 )
(3)两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. (　 )
(4)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1⊥l2. (　 )
◆ 知识点二　三垂线定理及其逆定理
三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的　　　　　　　　　　　　　　　　垂直,则它也和　　　　　　垂直.
三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的　　　　　　垂直,则它也和　　　　　　　　　　　　　　垂直.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三垂线定理及其逆定理说明的是平面内的一条直线、平面的一条斜线和该斜线在平面内的投影三者之间的关系. (　 )
(2)三垂线定理及其逆定理可以直接由线线垂直得到线线垂直. (　 )
◆ 探究点一　空间向量与垂直关系
例1 (1)已知非零向量a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=λb(λ≠0),b·c=0,则a与c的位置关系一定是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.垂直 B.平行
C.相交 D.异面
(2)若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则 (　 )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直
D.以上均不正确
变式 (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是 (　 )
A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直
(2)在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且 |n|=,则n的坐标为　　　　　　　.
[素养小结]
在探究空间的垂直关系时,通常的做法是看到直线找直线的方向向量,看到平面找平面的法向量,然后通过已知条件得到直线的方向向量与直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、平面的法向量与平面的法向量之间的关系,从而确定线线、线面、面面之间的位置关系.
◆ 探究点二　利用空间向量证明垂直关系
例2 如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在棱AB上且AB=3AQ,求证:PQ⊥OA.
变式 某三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为△A1B1C1,已知∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[素养小结]
空间垂直关系的解题策略
几何法 向量法
线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°; (2)若直线与平面垂直,则此直线与平面内所有直线垂直 证明两直线的方向向量互相垂直
线面 垂直 对于直线l,m,n和平面α, (1)若l⊥m,l⊥n,m α,n α,m与n相交,则l⊥α; (2)若l∥m,m⊥α,则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直; (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面 垂直 对于直线l,m和平面α,β, (1)若l⊥α,l β,则α⊥β; (2)若l⊥α,m⊥β,l⊥m,则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直
拓展 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BC的中点.
(1)在B1B上是否存在一点P,使D1P⊥平面B1AE
(2)在平面AA1B1B内是否存在一点N,使D1N⊥平面B1AE
◆ 探究点三　三垂线定理及其逆定理的应用
例3 (1)下列说法中正确的是 (　 )
A.若直线l与平面α外的一条直线l'在平面α内的投影垂直,则l⊥l'
B.若直线l与平面α外的一条直线l'垂直,则l与l'在平面α内的投影垂直
C.若向量a和直线l在平面α内的投影垂直,则a⊥l
D.若非零向量a和平面α平行,且和直线l垂直,直线l不与平面α垂直,则a垂直于l在平面α内的投影
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM (　 )
A.与AC,MN都垂直
B.垂直于AC,但不垂直于MN
C.垂直于MN,但不垂直于AC
D.与AC,MN都不垂直
变式 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2, M是A1B1的中点.求证:A1B⊥C1M.
[素养小结]
三垂线定理及其逆定理在求解判断和证明线线垂直问题时,有明显的优势,它使得线线垂直可以直接推出线线垂直,而不用再去证明线面垂直.在具体应用时一定要抓住三垂线定理及其逆定理成立的条件.
第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系
【课前预习】
知识点一
u1⊥u2　u1·u2=0　u1∥n1　u1=λn1　n1⊥n2
n1·n2=0
诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√
知识点二
一条斜线在这个平面内的投影　这条斜线　一条斜线　这条斜线在这个平面内的投影
诊断分析 (1)√　(2)√
【课中探究】
例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)由a=λb(λ≠0),知a∥b.由b·c=0,知b⊥c,则b⊥c,所以a⊥c.故选A.
(2)由题意知n1≠λn2(λ∈R),且n1·n2=-6-3-20=-29≠0,所以α,β相交但不垂直,故选C.
变式　(1)C　(2)(-2,4,1)或(2,-4,-1)　[解析] (1)以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,则·=·=0,∴ON与AM垂直,易得ON与AM异面,故ON与AM异面垂直.
(2)根据题意可得,=(-1,-1,2),=(1,0,2).设n=(x,y,z),∵n与平面ABC垂直,∴
可得又∵|n|==,
∴=,解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).
例2　证明:连接OP,OQ,以O为坐标原点,以OA,OC所在直线分别为x轴、z轴,以过点O且与平面AOC垂直的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),C(0,0,1),B.∵P为AC的中点,∴P,∴=,=(1,0,0),=.由已知可得==,∴=+=,∴=-=.∵·=0,∴⊥,即PQ⊥OA.
变式　证明:方法一:如图,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).∵D为BC的中点,∴D(1,1,0),∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0),∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0,·=0×(-2)+0×2+×0=0,∴⊥,⊥,∴BC⊥AD,BC⊥AA1.
又AA1∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.
∵BC 平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二:同方法一建系后,C1(0,1,),可得=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,).设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2).由得
取y1=-1,则x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).由得取y2=1,则x2=1,z2=,∴n2=.∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
拓展　解:如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),E,B1(1,1,1),D1(0,0,1),则=(0,-1,-1),=.
(1)假设存在点P(1,1,z1)满足题意,于是=(1,1,z1-1),所以所以即矛盾.故在B1B上不存在点P,使D1P⊥平面B1AE.
(2)假设在平面AA1B1B内存在点N,使D1N⊥平面B1AE.设N(1,y,z2),则因为=(1,y,z2-1),所以解得故在平面AA1B1B内存在点N,使D1N⊥平面B1AE.
例3　(1)D　(2)A　[解析] (1)对于A,当直线l与平面α相交时,不满足l⊥l',故A错误;对于B,当直线l与平面α相交时,不满足l与l'在平面α内的投影垂直,故B错误;对于C,当向量a和平面α不平行时,不满足a⊥l,故C错误;对于D,由三垂线定理的逆定理得D正确.故选D.
(2)方法一:以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),M(0,0,1),N(0,1,2),则=(-2,2,0),=(-1,-1,1),=(0,1,1),所以·=2-2+0=0,·=0-1+1=0,所以OM⊥AC,OM⊥MN.故选A.
方法二:连接OD,因为OM在底面ABCD内的投影是OD,AC⊥OD,所以由三垂线定理得AC⊥OM.过点O作OO'⊥CD于O',连接MO',NO'.设正方体的棱长为2,则MN=MO'=,NO'=2,所以MN2+O'M2=O'N2,所以MN⊥MO',由三垂线定理得MN⊥MO.故选A.
变式　证明:方法一:以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,2),B(0,1,0),C1(0,0,2),M,可得=(-1,1,-2),=,∵·=0,
∴A1B⊥C1M.
方法二:由题意可知BB1⊥平面A1B1C1,故A1B在平面A1B1C1内的投影为A1B1.在△A1B1C1中,∵C1A1=C1B1,M是A1B1的中点,∴C1M⊥A1B1,∴由三垂线定理可得A1B⊥C1M.

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