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第2课时　用向量方法研究立体几何中的度量关系(二)
【学习目标】
　　1.能用向量方法解决简单的二面角问题.
　　2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
◆ 知识点　两个平面的夹角
1.半平面:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为　　　　.
2.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为　　　　.这条直线称为　　　　　,这两个半平面称为　　　　　　.
3.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作
　　　　　　的两条射线,这两条射线的夹角称为　　　　　　　.二面角的平面角的取值范围为　.
4.已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量夹角　　　　　　,如图.
5.平面与平面的夹角的概念和范围
平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中　　　　的二面角称为平面α与平面β的夹角.
“向量法”求平面与平面的夹角的方法:设平面α与平面β的夹角为θ,
则cos θ=|cos|=.
【诊断分析】 阐述二面角的平面角分别为0,,π时的情况.
◆ 探究点一　平面与平面的夹角
例1 (1)如图所示,在空间直角坐标系D-xyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体, AA1=AB=2AD,点E为C1D1的中点,则二面角B1-A1B-E的平面角的余弦值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.- C. D.
(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AB1=AA1=AC=2,∠BAC=120°,线段A1B1的中点为M,且BC⊥AM,点P在线段B1C1上,且B1P=B1C1,求二面角P-B1A-A1的平面角的余弦值.
变式 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,O为AB的中点.
(1)证明:CO⊥平面ABB1A1;
(2)若BB1=2,求平面A1BC1与平面ABC1夹角的余弦值.
[素养小结]
设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角α-l-β的平面角为锐角时的值θ,用坐标法的解题步骤如下:
(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;
(2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1,n2;
(3)计算:cos θ=.
(4)不大于90°的二面角称为两平面的夹角.
拓展 如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=120°,四边形ACFE为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF.
(1)求证:EF⊥平面BCF.
(2)若点M在棱EF上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB的夹角最大 并求此时夹角的余弦值.
◆ 探究点二　已知二面角求长度
例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是棱AB上一点,当二面角P-EC-D的平面角为时,||等于 (　 )
A. 2- B.
C. 2- D. 1
变式 如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=,点M,N分别在PA和BD上,BN=BD.若二面角M-BD-A的平面角的大小为,求M,N两点间的距离.
[素养小结]
若题干已知二面角的平面角的大小,则利用坐标法解题的步骤如下:
(设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角α-l-β的平面角为锐角时的值θ)
(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;
(2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1,n2;
(3)计算:cos θ=;
(4)列方程并求解:根据θ的大小,结合已知条件得到与所求量有关的方程,解方程得到答案.
拓展 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,
∠BAD=90°,PA=AB=BC=AD=2,BC∥AD,若Q是四边形ABCD内部一点(包括边界),且二面角Q-PD-A的平面角为,则△ADQ面积的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.(0,4]
第2课时　用向量方法研究立体几何中的度量关系(二)
【课前预习】
知识点
1.半平面　2.二面角　二面角的棱　二面角的面
3.垂直于棱　二面角的平面角　[0,π]　4.相等或互补
5.不大于90°
诊断分析
解:当二面角的平面角为0时,两个半平面重合;
当二面角的平面角为时,二面角为直二面角;
当二面角的平面角为π时,两个半平面组成了一个平面.
【课中探究】
例1　(1)C　[解析] 设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0),因为E为C1D1的中点,所以E(0,1,2),所以 =(-1,1,0),=(0,2,-2).设m=(x,y,z)是平面 A1BE的法向量,则即取x=1,则y=z=1,所以m=(1,1,1).因为DA⊥平面A1B1B,所以=(1,0,0)是平面 A1B1B的一个法向量,所以cos==,又因为二面角B1-A1B-E为锐二面角,所以二面角B1-A1B-E的平面角的余弦值为.故选C.
(2)解:因为AB1=AA1=AB=A1B1=2,所以△AB1A1为等边三角形,因为M为A1B1的中点,所以AM⊥A1B1,所以AM⊥AB,又因为BC⊥AM,AB∩BC=B,AB 平面ABC,BC 平面ABC,
所以AM⊥平面ABC.
如图,以A为原点,在平面ABC上过A且与AC垂直的直线为x轴,直线AC为y轴,直线AM为z轴,建立空间直角坐标系,所以A(0,0,0),B(,-1,0),M(0,0,),A1,C(0,2,0).
因为==,所以B1,因为===(-,3,0),所以P,所以=,=,=.
设平面AB1P的法向量为n=(x,y,z),
所以即
令x=3,得y=,z=-1,所以n=(3,,-1).
设平面B1AA1的法向量为m=(a,b,c),
所以即
令a=1,得c=0,b=,所以m=(1,,0).设二面角P-B1A-A1的平面角的大小为θ,所以|cos θ|=|cos|==,又由图可知θ为锐角,所以二面角P-B1A-A1的平面角的余弦值为.
变式　解:(1)证明:∵△ABC是正三角形,O为AB的中点,∴CO⊥AB,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得AA1⊥平面ABC,又CO 平面ABC,∴AA1⊥CO.又AB∩AA1=A,AB,AA1 平面ABB1A1,∴CO⊥平面ABB1A1.
(2)设A1B1的中点为O1,连接OO1,易知OB,OO1,OC两两垂直,以O为坐标原点,OB,OO1,OC所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图.∵△ABC是边长为2的正三角形,∴CO=,则B(1,0,0),A(-1,0,0),A1(-1,2,0),C1(0,2,),
∴=(-2,2,0),=(-1,2,),=(2,0,0),=(1,2,).设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z),则即取x=,则y=,z=-1,故m=(,,-1).设平面ABC1的法向量为n=(a,b,c),则即
取b=-,则a=0,c=2,故n=(0,-,2).
设平面A1BC1与平面ABC1的夹角为θ,则cos θ=|cos|===,故平面A1BC1与平面ABC1夹角的余弦值为.
拓展　解:(1)证明:设AD=CD=BC=1,∵AB∥CD,∠BCD=120°,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,∴AB2=AC2+BC2,则BC⊥AC.∵CF⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥CF,而CF∩BC=C,CF,BC 平面BCF,∴AC⊥平面BCF.∵EF∥AC,∴EF⊥平面BCF.
(2)以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),
∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).
设n=(x,y,z)为平面MAB的法向量,
由得取x=1,则n=(1,,-λ).易知m=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,
∴cos===.∵0≤λ≤,∴当λ=0时,cos取得最小值,∴当点M与点F重合时,平面MAB与平面FCB的夹角最大,此时夹角的余弦值为.
例2　A　[解析] 以D为坐标原点,分别以,,的方向为 x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,1).设E(1,t,0),0≤t≤2,平面 PEC的法向量为n=(x,y,z),因为=(1,t,-1),=(0,2,-1),所以取y=1,得n=(2-t,1,2).又平面 ABCD的一个法向量是n1=(0,0,1),n·n1=2,所以|n1|·|n|·cos=×1×=2,解得t=2+(舍去)或t=2-,所以||=2-.故选A.
变式　解:连接AC,与BD交于点O,连接OP,以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.∵PA=AB=,∴A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N.∵M在PA上,∴设=λ,得M(λ,0,1-λ),0≤λ≤1,∴=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),由得
取z=λ,得n=(λ-1,0,λ).∵平面ABD的一个法向量为=(0,0,1),二面角M-BD-A的平面角的大小为,∴cos=,即=,得λ=,∴M,又N,∴MN==.
拓展　D　[解析] 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为二面角Q-PD-A的平面角为,所以点Q的轨迹是过点D的一条线段(不包括点D).设点Q的轨迹与y轴的交点为G(0,b,0),由题意可得A(0,0,0),D(4,0,0),P(0,0,2),所以=(-4,0,2),=(-4,b,0),=(4,0,0).因为AB⊥平面PAD,所以平面PAD的一个法向量为m==(0,2,0),设平面PDG的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=,z=2,所以n=.因为二面角Q-PD-A的平面角为,所以|cos|===,得b=>2,所以当点Q在线段BC上时,△ADQ的面积最大,最大值为×4×2=4,所以△ADQ面积的取值范围是(0,4],故选D.

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