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第3课时　空间中的距离问题
【学习目标】
　　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
　　2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
◆ 知识点一　点到平面的距离
1.点到平面的距离
点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=　　　　.
2.直线到平面的距离和平面到平面的距离
(1)若一条直线平行一个平面,则该直线到这个平面的距离等于该直线上　　　　到这个平面的距离.
(2)若两个平面平行,则这两个平面间的距离等于其中一个平面上　　　　到另一个平面的距离,即线面距和面面距均可转化为点面距.
3.用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤:
(1)确定平面的一个法向量;(2)选择参考向量(已知点与平面内任意一点连线所得向量);(3)确定参考向量在法向量方向上的投影向量;(4)求投影向量的长度.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面α内一点B所成向量的长度. (　 )
(2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. (　 )
(3)若平面α∥平面β,则两平面α,β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. (　 )
◆ 知识点二　点到直线的距离
若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为d=.
【诊断分析】 1.如何求两条相互平行的直线之间的距离
2.与已知直线的距离等于1的点的轨迹是什么图形
◆ 探究点一　点到平面的距离
例1 如图所示,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,求点B到平面CMN的距离.
变式 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为BB1的中点,AB=CC1=2BC=2.
(1)求异面直线AE与CC1的夹角的余弦值;
(2)求点C到平面AEC1的距离.
[素养小结]
求点到平面的距离的主要方法:
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
(3)向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段).
◆ 探究点二　直线到平面的距离、平面与平面的距离
例2 (1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a B.a
C.a D.a
(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱A1B1的中点,F为棱AB的中点,求直线FC到平面AEC1的距离.
[素养小结]
(1)求线面(线与面平行)距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.
(2)求两个平行平面的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.
◆ 探究点三　点到直线的距离
例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为　　　　.
变式 [2024·山西朔州高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2BC=6,PC⊥PD,PC=PD,点O是CD的中点,求棱PB上的动点E到直线AO的距离的最小值.
[素养小结]
用向量法求点到直线的距离的一般步骤:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量;
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量的长度,及该向量在直线方向向量方向上的投影数量;
(4)利用勾股定理求距离.
另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
第3课时　空间中的距离问题
【课前预习】
知识点一
1.|·n0|
2.(1)任意一点　(2)任意一点
诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√
知识点二
诊断分析
1.解:可以将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.解:以该直线为轴,与直线距离为1的直线旋转而成的圆柱面.
【课中探究】
例1　解:取AC的中点O,连接OS,OB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC,∴SO⊥BO.
又∵△ABC为正三角形,O为AC的中点,∴AO⊥BO.
如图所示,以O为原点,以OA,OB,OS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,),
∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0).
设n=(x,y,z)为平面CMN的法向量,
则取z=1,
则x=,y=-,可得n=(,-,1),
∴点B到平面CMN的距离d==.
变式　解:(1)由题意可得CC1⊥CA,CC1⊥CB,又AC⊥BC,所以以C为坐标原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
由AC⊥BC,AB=2BC=2,可得AC=,则有A(,0,0),E(0,1,1),C1(0,0,2),所以=(-,1,1),=(0,0,2),所以cos<,>==,所以异面直线AE与CC1的夹角的余弦值为.
(2)设平面AEC1的法向量为m=(x,y,z),由(1)知=(-,1,1),=(-,0,2),则
取x=2,可得m=(2,,),又=(,0,0),
则点C到平面AEC1的距离d==.
例2　(1)D　[解析] 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,易证平面AB1D1∥平面BDC1,且平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),由A(a,0,0),B(a,a,0),得=(0,-a,0),则平面AB1D1与平面BDC1的距离d===a.
(2)解:以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示),则A(1,0,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E,F,∴=,=,=,=.∵==,∴FC∥EC1,∵FC 平面AEC1,EC1 平面AEC1,∴FC∥平面AEC1,∴直线FC到平面AEC1的距离即为点F到平面AEC1的距离.设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则∴取z=1,则x=1,y=2,∴n=(1,2,1),又=,∴点F到平面AEC1的距离为==.
例3　　[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1),所以在方向上的投影数量为==-,所以点C1到直线EC的距离d===.
变式　解:取AB的中点O',连接PO,OO',AE,因为PC=PD,O为CD的中点,所以PO⊥CD,又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,PO 平面PCD,所以PO⊥平面ABCD,因为OO' 平面ABCD,所以PO⊥OO',又底面ABCD是矩形,所以OO'⊥CD.以O为原点,以OO',OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
由PC⊥PD,PC=PD,CD=6,得PO=3,所以A(3,-3,0),B(3,3,0),P(0,0,3),则=(-3,3,0).设=λ(0≤λ≤1),则E(3-3λ,3-3λ,3λ),则=(-3λ,6-3λ,3λ),||=,==
==3,因此点E到直线AO的距离d===,故当λ=时,d取得最小值,即棱PB上的动点E到直线AO的距离的最小值为.

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