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第五章　计数原理
§1　基本计数原理
1.1　分类加法计数原理
1.2　分步乘法计数原理
【学习目标】
　　1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
　　2.能够结合具体实例,进一步识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并能运用这些原理解决简单的实际问题.
◆ 知识点一　分类加法计数原理
完成一件事,可以有　　　　办法,在第1类办法中有　　　　种方法,在第2类办法中有　　　　种方法……在第n类办法中有　　　种方法,那么,完成这件事共有N=
　　　　　种方法. (也称“加法原理”)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同. (　 )
(2)在分类加法计数原理中,每类办法中的方法都能完成这件事. (　 )
◆ 知识点二　分步乘法计数原理
完成一件事需要经过　　　　步骤,缺一不可,做第1步有　　　　种不同的方法,做第2步有　　　　种不同的方法……做第n步有　　　种不同的方法,那么,完成这件事共有N=　　　　　　种方法. (也称“乘法原理”)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法可以是各不相同的. (　 )
(2)在分步乘法计数原理中,事情如果是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. (　 )
◆ 探究点一　分类加法计数原理
例1 从甲地出发前往乙地,一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择.某人某天要从甲地出发去乙地旅游,则所有不同走法的种数是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.16 B.15
C.12 D.8
变式 某班有男生22人,女生18人,从中选一名学生为数学课代表,则不同的选法共有 (　 )
A.40种 B.396种
C.22种 D.18种
[素养小结]
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
[提醒] 确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事.
拓展 如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落导致电路不通的情况有 (　 )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.9种 B.11种
C.13种 D.15种
◆ 探究点二　分步乘法计数原理
例2 在端午小长假期间,某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位,每天只需1人值班,则不同的排班方法有 (　 )
A.12种 B.24种
C.64种 D.81种
变式 为促进中学生综合素质全面发展,某校开设了5个社团,甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团,则不同的报名方式共有 (　 )
A.60种 B.120种
C.125种 D.243种
[素养小结]
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
[提醒] 分步时要注意不能遗漏步骤,否则就不能完成这件事.
◆ 探究点三　分步、分类计数原理综合应用
例3 现从高二年级4个班的学生中共抽取34人,其中甲、乙、丙、丁班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外活动小组.
(1)选其中1人为负责人,有多少种不同的选法
(2)每班选1名组长,有多少种不同的选法
(3)推选2人发言,这2人需来自不同的班级,有多少种不同的选法
变式 [2024·江西上饶玉山二中高二月考] 某学校派出五名教师去三所乡村学校支教,其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相关要求,每位教师只能去一所学校参与支教,并且每所学校至少有一名教师参与支教,同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教,则不同的安排方案有 (　 )
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
[素养小结]
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才能完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从而归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图,使问题的分析更直观、清楚,以便于探索规律.
(3)综合问题在求解过程中一般先分类再分步.
§1　基本计数原理
1.1　分类加法计数原理
1.2　分步乘法计数原理
【课前预习】
知识点一
n类　m1　m2　mn　m1+m2+…+mn
诊断分析 (1)×　(2)√
知识点二
n个　m1　m2　mn　m1·m2·…·mn
诊断分析 (1)√　(2)√
【课中探究】
例1　D　[解析] 根据分类加法计数原理可知,共有4+3+1=8(种)不同的走法.故选D.
变式　A　[解析] 从该班男生中选一名学生为数学课代表有22种方法,从该班女生中选一名学生为数学课代表有18种方法,故不同的选法共有22+18=40(种).故选A.
拓展　C　[解析] 按照可能脱落的个数分类讨论,若脱落1个,则有(1),(4),共2种情况;若脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况;若脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4种情况;若脱落4个,则有(1,2,3,4),共1种情况.综上,共有2+6+4+1=13(种)情况.故选C.
例2　C　[解析] 根据题意,第一天值班可以安排4名职员中的任意一人,有4种排班方法.同理第二天和第三天也有4种排班方法,根据分步乘法计数原理可知,不同的排班方法有4×4×4=64(种),故选C.
变式　C　[解析] 由题意知,甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团,所以每个人有5种选择,则不同的报名方式共有5×5×5=125(种),故选C.
例3　解:(1)分四类:第一类,从甲班的学生中选1人,有7种选法;第二类,从乙班的学生中选1人,有8种选法;第三类,从丙班的学生中选1人,有9种选法;第四类,从丁班的学生中选1人,有10种选法.所以不同的选法共有7+8+9+10=34(种).
(2)分四步,第一、二、三、四步分别是从甲、乙、丙、丁班的学生中选1名组长,所以不同的选法共有7×8×9×10=5040(种).
(3)分六类,每一类又分两步:从甲、乙班的学生中各选1人,有7×8=56(种)不同的选法;从甲、丙班的学生中各选1人,有7×9=63(种)不同的选法;从甲、丁班的学生中各选1人,有7×10=70(种)不同的选法;从乙、丙班的学生中各选1人,有8×9=72(种)不同的选法;从乙、丁班的学生中各选1人,有8×10=80(种)不同的选法;从丙、丁班的学生中各选1人,有9×10=90(种)不同的选法.所以不同的选法共有56+63+70+72+80+90=431(种).
变式　C　[解析] 先将五个人分为三组,每组的人数分别为3,1,1或2,2,1.若三组的人数分别为3,1,1,则教师夫妇必在三人的一组,则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽一人,此时不同的分组方法有3种;若三组的人数分别为2,2,1,则两人一组的有一组是教师夫妇,只需将剩余三人分为两组,且这两组的人数分别为2,1,此时不同的分组方法有3种.接下来,将所分的三组分配给三所不同的学校,因此不同的安排方案有(3+3)×6=6×6=36(种).故选C.

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