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第2课时　点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式
【学习目标】
　　1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.
　　2.会求两条平行直线间的距离.
【课前预习】
◆ 知识点一　点到直线的距离公式
已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),则点P到直线l的距离d=　　　　　　.
证明点到直线距离的方法如下:
1.定义法
根据定义,点P到直线l的距离就是点P到直线l的垂线段的长.如图,过点P(x0,y0)作直线l:Ax+By+C=0(A≠0)的垂线l',垂足为Q,由l'⊥l可知l'的斜率为　　　,∴l'的方程为y-y0=(x-x0),与l的方程联立,得交点Q,∴|PQ|=.
可以验证,当A=0时,上述公式仍然成立.
2.向量法
如图,设直线l:Ax+By+C=0的一个法向量为n=(A,B),M(x1,y1)为直线l上任意一点,P(x0,y0),则=(x1-x0,y1-y0).从而点P到直线l的距离d=　　　　==
.
∵点M在直线l上,∴Ax1+By1+C=0,从而d==.
【诊断分析】 (1)点P(-1,0)到直线l:x+y-4=0的距离为　　　　.
(2)点P(x0,y0)到直线y=a的距离为　　　　.
◆ 知识点二　两条平行直线间的距离
1.定义:夹在两条平行直线间的　　　　　　的长,称为两条平行直线间的距离.
2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(其中A,B不全为0,且C1≠C2)之间的距离d=　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|. (　 )
(2)已知两条平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　点到直线的距离公式
例1 (1)在平面直角坐标系中,点P(0,-1)到直线y=x-3的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.
C.2 D.
(2)点P0(0,2)到直线y=3的距离是　　　　.
变式 (1)(多选题)已知点(1,m)到直线x+y-2=0的距离等于1,则m的值可以是 (　 )
A.1- B.1+
C.-1 D.3
(2)垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线l的方程是　　　　　　　　　　　.
[素养小结]
求点到直线的距离的方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接应用点到直线的距离公式求解即可.
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.
(3)已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
◆ 探究点二　两条平行直线间的距离公式
例2 平行直线l1:3x-4y+10=0与l2:6x-8y-5=0之间的距离为 (　 )
A. B.
C. D.
变式 (1)已知直线l与两平行直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为　　　　　　.
(2)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)的两条平行直线,当l1,l2间的距离为时,直线l1的方程是　　　　　　.
(3)[2024·甘肃白银高二期末] 若直线l被两平行直线l1:x+y+2=0与l2:x+y-2=0所截的线段的长为2,则直线l的倾斜角为 (　 )
A.165°或75° B.85°或45°
C.150°或30° D.75°或85°
[素养小结]
求两平行直线间的距离一般有两种方法:
(1)转化法:将两平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于结果与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
(2)公式法:直接用公式d=,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
◆ 探究点三　最值问题
例3 (1)已知实数x,y满足3x-4y-6=0,则的最小值为 (　 )
A.2 B.
C. D.
(2)已知实数x,y满足xsin α+ycos α=3,则x2+y2的最小值为　　　　.
变式 (1)已知点(3,4)在直线ax+by-10=0(a,b∈R)上,则点(a,b)到原点的距离的最小值为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)点P(a,b)到直线l1:5x-12y-6=0和直线l2:5x-12y+20=0的距离之差的绝对值的取值范围是 (　 )
A.[0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞) D.与a,b有关
[素养小结]
解决与直线有关的最值问题,常转化为求解点到直线的距离或两平行线间的距离的相关问题.
◆ 探究点四　对称问题
例4 (1)求直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线方程.
(2)求点A(-2,3)关于直线3x-y-1=0对称的点A'的坐标.
(3)已知直线l1:3x-2y-6=0,直线l2:x-y-4=0,求l1关于l2对称的直线方程.
变式 (1)直线l:y=2x-4关于点A(1,0)对称的直线方程为 (　 )
A.y=2x B.y=-2x
C.y=2x-8 D.y=2x+4
(2)[2024·湖南常德高二期中] 若直线l1:2x-y+3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线为l2,则l2的方程为 (　 )
A.2x+y+1=0 B.x+2y-1=0
C.x+y=0 D.x-2y+3=0
[素养小结]
与直线有关的对称问题的求解规律:
(1)点关于点对称,利用中点坐标(a,b)得到两对称点的坐标(x,y)和(x1,y1)的关系式
(2)直线关于点对称,两直线平行,斜率相等,再在已知直线上取点A,求点A关于已知点的对称点A',进而可得直线方程.
(3)点关于直线对称,依据两对称点的连线与对称轴垂直,且两对称点的对称中心在对称轴上,列式求解.
(4)直线关于直线对称,若两直线相交,则三条直线交于一点,再转化为求点关于直线的对称点;若两直线平行,则三条直线都平行,由平行直线系和两条平行线间的距离公式即可求解.
拓展 已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4),若点P在直线l上,则当|PA|+|PB|取得最小值时,点P的坐标是　　　　.
第2课时　点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式
【课前预习】
知识点一
1.　2.
诊断分析 (1)　(2)|y0-a|
知识点二
1.公垂线段　3.
诊断分析 (1)√　(2)×
【课中探究】
例1　(1)B　(2)1　[解析] (1)y=x-3可化为x-y-3=0,则点P(0,-1)到直线x-y-3=0的距离为=.故选B.
(2)因为直线y=3平行于x轴,所以所求距离d=|3-2|=1.
变式　(1)AB　(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0
[解析] (1)依题意有=1,即|m-1|=,得m=1±.故选AB.
(2)设与直线x+3y-5=0垂直的直线方程为3x-y+m=0,则由点到直线的距离公式知,==,可得|m-3|=6,即m-3=±6,解得m=9或m=-3,故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
例2　D　[解析] 方法一:在直线l1:3x-4y+10=0上取点A,则点A到直线l2:6x-8y-5=0的距离d==,则平行直线l1:3x-4y+10=0与l2:6x-8y-5=0之间的距离为.故选D.
方法二:将6x-8y-5=0化为3x-4y-=0,则两平行直线间的距离d===. 故选D.
变式　(1)2x-y+1=0　(2)x+2y-3=0　(3)A
[解析] (1)设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意得=,解得C=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.
(2)当直线l1,l2的斜率不存在时,两直线间的距离为1,不满足题意,故直线l1,l2的斜率存在,设为k,则直线l1,l2的方程分别是y-1=k(x-1),y+1=kx,因此两平行直线间的距离d==,依题意得=,解得k=-,所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
(3)在平面直角坐标系中作出直线l1,l2,如图所示,在直线l1上取点A,过点A作AB⊥l2,垂足为B.因为直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-2=0平行,所以l1,l2之间的距离为=2,即|AB|=2.
设直线l过点A且与直线l2交于点C,则|AC|=2.因为AB⊥BC,且|AB|=2,|AC|=2,所以∠ACB=45°,即直线l与直线l2的夹角为45°.因为直线l2的斜率为-,所以l2的倾斜角为120°.当直线l在l'的位置时,直线l的倾斜角为120°+45°=165°;当直线l在l″的位置时,直线l的倾斜角为120°-45°=75°.所以直线l的倾斜角为165°或75°.故选A.
例3　(1)A　(2)9　[解析] (1)=,它表示点A(0,1)与直线3x-4y-6=0上的动点P(x,y)之间的距离,其最小值为点A到直线3x-4y-6=0的距离,为=2,故选A.
(2)易知x2+y2表示点(x,y)到点(0,0)的距离的平方.因为点(x,y)在直线xsin α+ycos α-3=0上,所以点(x,y)到点(0,0)的距离的最小值为=3,所以x2+y2的最小值为9.
变式　(1)B　(2)B　[解析] (1)∵点(3,4)在直线ax+by-10=0上,∴3a+4b-10=0,则点(a,b)在直线3x+4y-10=0上,可知点(a,b)到原点的距离的最小值等于原点到直线3x+4y-10=0的距离,为=2.故选B.
(2)因为直线l1:5x-12y-6=0与直线l2:5x-12y+20=0平行,所以两条直线之间的距离为=2.当点P(a,b)在两条直线之间时,点P(a,b)到直线l1和直线l2的距离之差的绝对值在[0,2)内;当点P(a,b)在其中一条直线上或者在两条直线之外时,点P(a,b)到直线l1和直线l2的距离之差的绝对值等于2.综上可得,点P(a,b)到直线l1和直线l2距离之差的绝对值的取值范围是[0,2],故选B.
例4　解:(1)设P(x,y)是待求直线上任意一点,Q(x0,y0)为P点关于点M(2,3)的对称点,则Q点在直线y=-4x+1上,即y0=-4x0+1.由题意得得把代入y0=-4x0+1,得4x+y-21=0,
故所求的直线方程为4x+y-21=0.
(2)设A'(x0,y0),由题意,得解得所以点A关于直线3x-y-1=0对称的点A'的坐标为(4,1).
(3)取所求直线上任意一点M(x,y),设M关于直线l2:x-y-4=0的对称点为N(x1,y1),则
解得易知点N(x1,y1)在直线l1:3x-2y-6=0上,即3x1-2y1-6=0,所以3(y+4)-2(x-4)-6=0,化简得2x-3y-14=0,即所求直线方程为2x-3y-14=0.
变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)因为A(1,0)不在直线l:y=2x-4上,所以可设直线l:y=2x-4关于点A(1,0)对称的直线方程为y=2x+b,则=,解得b=0或b=-4(舍去),故所求直线方程为y=2x.故选A.
(2)由解得即直线l1与直线l的交点为(-1,1).易知点A(0,3)在直线l1上,设A关于直线l的对称点为A1(a,b),则解得即A1(1,2),所以直线l2的斜率k==,从而直线l2的方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.故选D.
拓展　(-2,3)　[解析] 设点A(2,0)关于直线x-2y+8=0对称的点为A'(a,b),则解得即A'(-2,8).易知|PA|=|PA'|,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当A',P,B三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,此时点P的横坐标为-2,则P(-2,3).

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