资源简介

1.6　平面直角坐标系中的距离公式
第1课时　两点间的距离公式
【学习目标】
　　探索并掌握平面上两点间的距离公式.
【课前预习】
◆ 知识点　两点间的距离公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为|P1P2|=　　　　　　　　.
(1)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=　　　　;
(2)当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=　　　　;
(3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|=.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)点P1(0,a),点P2(b,0)之间的距离为a-b. (　 )
(2)点P1(a,0),点P2(b,0)之间的距离为a-b. (　 )
(3)已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,y1≠y2,则|P1P2|=|y2-y1|. (　 )
(4)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用. (　 )
2.(1)已知平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),直线AB的斜率为k,用含k的式子表示y1-y2.
(2)已知平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),直线AB的斜率为k,如何用含k,x1,x2的关系式表示A,B两点间的距离
【课中探究】
◆ 探究点一　求两点间的距离
例1 (1)[2024·乌鲁木齐高二期中] 已知三角形的三个顶点为A(2,-1),B(3,2),C(-5,4),则BC边上的中线AD的长为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.5 C.9 D.25
(2)(多选题)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标可以是 (　 )
A.(-4,5) B.(-1,2)
C.(-3,4) D.(1,-5)
变式 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),
(1)判断△ABC的形状;
(2)求BC边上的中线AM的长.
[素养小结]
(1)求两点间的距离或者利用两点间的距离求参数时应用距离公式直接求解或建立方程求解;
(2)运用两点间的距离判断三角形或四边形的形状时,先利用直线方程判断位置关系,再用距离公式求出线段长度.
若四边形的两组对边分别平行,则该四边形是平行四边形,进而再判断四边形是否是矩形、菱形;若四边形只有一组对边平行,则该四边形是梯形,进而再判断四边形是否是等腰梯形、直角梯形;若四边形的两组对边均不平行,则四边形为一般四边形.
拓展 [2024·福州高二期中] 我国著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题求解,如:求的最小值可以转化为求点(x,y)到点(a,b)的距离的最小值,则+的最小值为 (　 )
A.3 B.2+1
C.2 D.
◆ 探究点二　已知两点间的距离求参数
例2 已知A(a,-5)与B(0,10)两点间的距离是17,则a的值为 (　 )
A.8 B.2
C.±2 D.±8
变式 已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上有一点P,使|PA|=|PB|,求点P的横坐标x.
[素养小结]
在利用两点间的距离求参数时,一定要检验参数是否有意义.
◆ 探究点三　已知两点间的距离求直线方程
例3 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=kx-1上的两点,若|y2-y1|=2,且|AB|=2,求直线l的方程.
变式 已知点A(3,1)到直线l:ax-y+b=0上一点B(1,a)的距离为2,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　.
[素养小结]
利用两点间距离公式求直线方程(通常含有参数)时,一般根据两点间距离公式列出含有参数的方程,通过解得参数的值,求得直线方程.
1.6　平面直角坐标系中的距离公式
第1课时　两点间的距离公式
【课前预习】
知识点
　(1)|x2-x1|　(2)|y2-y1|
诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.解:(1)∵k=,∴y1-y2=k(x1-x2).
(2)|AB|==
=·|x1-x2|.
【课中探究】
例1　(1)B　(2)BC　[解析] (1)因为BC边的中点为D,所以点D的坐标为,即(-1,3),故BC边上的中线AD的长为=5.故选B.
(2)设所求点的坐标为(x0,y0),则x0+y0-1=0,且=,两式联立解得或所以所求点的坐标为(-1,2)或(-3,4).故选BC.
变式　解:(1)因为|AB|==2,|AC|==2,
|BC|==2,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以AB⊥AC,
又|AB|=|AC|,所以△ABC是等腰直角三角形.
(2)设点M的坐标为(x,y),因为点M为BC边的中点,所以x==2,y==2,即点M的坐标为(2,2).由两点间的距离公式得|AM|==,所以BC边上的中线AM的长为.
拓展　D　[解析] +=
+,则原问题等价于求点P(x,0)到点A(0,1),B(2,2)的距离之和的最小值.作出点A关于x轴对称的点A'(0,-1),显然当B,P,A'三点共线时,点P到点A,B的距离之和取得最小值,最小值为B,A'之间的距离,为=.故选D.
例2　D　[解析] 由两点间的距离公式得=17,解得a=±8.故选D.
变式　解:由题可知点P(x,0),则|PA|==,|PB|==.
由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-.
例3　解:由题意知,|AB|===|y1-y2|,故×2=2,可得k=±1,则直线l的方程为y=±x-1.
变式　3x-y=0或x+y=0　[解析] 由题知,|AB|==2,解得a=3或a=-1.因为点B在直线l上,所以b=0,所以直线l的方程为3x-y=0或x+y=0.

展开更多......

收起↑