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函数对称性的探究
黄忠源
摘要: 函数是中学数学的主线，而对称性是函数的重要性质之一.本文讨论了一个函数关于点对称、关于直线对称的情形并给出了2个定理，也讨论了两个函数关于点对称、关于直线对称的问题并给出了5个定理，同时也讨论了两个关于点对称或关于直线对称的函数和、差、积的对称问题.最后本文还就函数对称性、周期性、奇偶性三者关系进行了简单的探究．
关键词: 函数,点对称,直线对称,周期性,奇偶性
1 关于点的对称
1.1一个对象关于点的对称（中心对称）.
定理1 函数的图象关于点对称的充要条件是：
证明 （必要性）设点是图象上的任意一点，因为点关于的对称点也在图象上，所以即所以有，必要性得证.
（充分性）设点是图象上的任意一点，则
因为，即，故点也在图象上，而点与点关于点对称，充分性得证.
宗上，证毕.
推论 函数的图象关于原点对称的充要条件是
1.2两个对象关于点的对称
定理2 函数与的图象关于点成中心对称.
证明 设点为函数图象上的任意一点，则由函数可知为函数图象上的一点，而点与点关于对称.反之也成立，所以原命题成立，得证.
定理3 已知函数，函数，则函数的图象关于点成中心对称.
证明 对按照向量进行平移，即有，即，其中是平移后的坐标。把代入得到平移后的函数为显然为奇函数，即有关于点中心对称.根据平移知识知关于点成中心对称.
推论 函数 的图象关于点成中心对称
1.3两个点对称函数的和、差、积的对称
定理4 设函数，的定义域都是，若与的图象关于点对称，则必有：
（1）函数的图象关于点对称；
（2）函数的图象关于直线对称；
（3）函数的图象关于直线对称.
证明 （1）设点为的图象上的一点.
又设点在函数的图象上则，因为函数与的图象关于点对称，所以点关于点的对称点必在的图象上，所以，从而有.
同理可证.于是由得即.
这表明点也在函数的图象上，而点与关于点对称，所以函数的图象关于点对称.
同理可证（2），（3）.证毕.
因为与关于点对称，所以得到如下推论.
推论 设函数，的定义域都是，对于任意，则必有.
（1）函数的图象关于点对称；
（2）函数的图象关于直线对称；
（3）函数的图象关于直线对称.
2关于直线的对称。
2.1 一个对象自身的对称（轴对称）
定理5 函数的图象关于直线对称的充要条件是：
即
证明（必要性）设点是图象上的任意一点，因为点关于直线对称的点是，所以也在的图象上即有即，必要性得证.
（充分性）设点是图象上的任意一点，因为满足，即有，说明也在图象上，又因为与关于直线对称且是图象上的任意一点，所以函数的图象关于直线对称，充分性得证.
推论 函数的图象关于轴对称的充要条件是
2.2两个对象关于直线的对称问题
定理6 设函数的定义域为，则有下列命题成立.
（1）函数与的图象关于直线成轴对称.
（2）函数与的图象关于直线成轴对称.
（3）函数与的图象关于直线成轴对称.
证明 （1）（2）易证，现证明（3）.设点为函数图象上的任意一点，则。记点关于直线对称的点为，则有，所以有，代入之中得到所以点在函数的图象上。
同理可证：函数的图象上任意一点关于直线的轴对称的点也在函数的图象上。故命题（3）成立.
推论 函数的图象与成轴对称，对称轴为，即与互为反函数.
定理7 已知函数，函数，则函数的图象关于直线成轴对称.
证明 函数的定义域为，要使函数有意义，只需：且.
记集合，则函数的定义域为，下面证明：
…………………………..①
事实上，且且
且.
在函数的图象上任取一点，则它关于直线的对称点为.因点在图象上，有：
…………………….②
，由①知：，即在点处有意义.
所以
…………………………………….③
由②③得：，即点在的图象上，所以函数的图象关于直线成轴对称.
由以上定理及图象平移知识易得：
推论 函数的图象关于直线成轴对称.
根据以上证明思路容易证明.
定理8 已知函数，函数，则函数的图象关于直线成轴对称.
推论 函数的图象关于直线成轴对称.
2.3三角函数的对称问题（引用）.
三角函数的对称性是一种重要的性质，涉及这方面的内容的题目，在高考试题中经常出现，是一个常考的高考热点.于正弦型函数、余弦型函数与正切型函数的对称性一般需要根据基本函数、、的对称性进行求解，下面对这类问题进行归类分析.
首先，先明确以下结论：
函数的图象的对称轴方程为，对称中心坐标为.
函数的图象的对称轴方程为，对称中心坐标为.
函数的图象无对称轴，但具有对称中心，其坐标为.
下面根据以上三个结论结合例题求解与三角函数对称性有关的四大类问题.
2.3.1（问题一）如何根据函数解析式确定函数的对称轴？
函数的图象的一条对称轴方是……………………..（）
A B C D
解：由得图象的对称轴方程为.由时， 故选择A
函数的图象的一条对称轴方程是………….（）
A B C D
解：由 得图象的对称轴方程为.当时，故选择B
2.3.2（问题二）如何根据函数解析式确定图象的对称中心？.
函数的图象的一个对称中心是…………（）
A B C D
解：由得，对称中心为.当时，即为，所以选择B
求函数图象的一个对称中心……….（）
A B C D
解：由，得 ，当时，，所以一个对称中心为，故选择C
函数的对称中心是……….（）
A B C D
解：由，得 ，当时，，所以一个对称中心为，故选择D
2.3.3（问题三）如何根据函数图象的对称轴确定函数的解析式？.
如果函数的图象关于直线对称，那么等于.（）
A B C D
解：由三角函数的性质知，当时函数取最大值或最小值.所以由题设条件知，函数的最大值为最小值为，
而当时，所以有解得故选择D
另解：因为是该函数的一条对称轴，所以对定义域上的任何值都成立，
令，则有，，所以有故选择D
下列函数中，周期为，图象关于直线对称的函数是..（）
A B
C D
解：选项A，B中的函数的周期均为，所以排除A和B，在C中，由得对称轴为，又由，得所以选项C也不对，所以选择D
2.3.4（问题四）如何根据图象的对称中心确定函数解析式？.
例8，函数的图象的一个对称中心是，则可取…（）
A B C D
解：由得，所以对称中心为，由，得到，当时，故选择B
2.4两个轴对称函数的和、差、积的对称
定理9 设函数，的定义域都是，若与的图象关于直线对称，则必有：
函数的图象关于直线对称；
函数的图象关于点对称；
函数的图象关于直线对称。
证明 （1）设点为的图象上的一点，则有
又设点在函数的图象上则，因为函数与的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点必在的图象上，所以，从而有.
同理可证.于是由得
这表明点也在函数的图象上，而点与关于直
线对称，所以函数的图象关于直线对称.
同理可证（2），（3）.证毕.
因为与的图象关于直线对称，所以由定理5得到：
推论 设函数的定义域为，对任意的，则必有：
函数的图象关于直线对称；
函数的图象关于点对称；
（3）函数的图象关于直线对称.
3函数对称性与周期性的关系.
函数的对称性和周期性有怎样的关系呢？下面给出两个探索和两个定理.
探索一、①是定义在上的偶函数；
②的图象关于直线对称；
③是以为周期的周期函数.
如果将以上中的两个作为条件，余下一个作为结论，那么构趁的三个命题是否都为真命题？
分析：①②→③：
因为的图象关于直线对称，所以有所以就有，又为偶函数，所以有.所以有，故是以为周期的周期函数.
①③→②：
因为为偶函数，所以，又，所以有即有，所以有，所以的图象关于直线对称.
②③→①
因为的图象关于直线对称，所以有，即有，又因为是以为周期的周期函数，所以有，所以有，即为偶函数.
根据以上结论，我们可以总结出：对于函数而言，如果具备：①是定义在上的偶函数，②的图象关于直线对称，③是以为周期的周期函数；这三个性质中的任意两个，那么便可以推导出它必具备余下一个性质.
若将此结论进一步推广可得：
探索二、①的图象关于直线对称；
②的图象关于直线对称；
③是以为周期的周期函数.
如果将以上中的两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题是否为真命题呢？
分析：①②→③.
设为函数图象上的任意一点，因为的图象关于直线对称，所以点关于直线对称的点必在的图象上；
又因为的图象关于直线对称，所以点关于直线对称的点也必在的图象上；从而，故是以为周期的周期函数.
①③→②.
因为是以为周期的周期函数，所以；
又因为的图象关于直线对称，所以所以有；
所以有，即，即，所以有，故的图象关于直线对称.
②③→①
因为的图象关于直线对称，所以有，即.又因为是以为周期的周期函数，所以有.所以可得到，即有，即，所以的图象关于直线对称
定理10 一般地，函数满足对于任意的实数都有和都成立（其中），即函数的图象关于两条直线和都对称，则是周期函数，且周期是或.
证明 由及，得及，因而有，令，则所以有，所以是周期函数，且周期是或.
定理11 函数的图象关于直线和点（其中）都对称，那么函数是周期函数，且周期是或.
证明 因为关于直线对称所以有，又关于点对称所以有式子成立，得到
，令，则，因而有：
，即，所以
，所以有，所以是周期函数，且周期是或.
推论 若函数的图象关于直线和原点对称，则函数是周期函数，且周期为.
参考文献
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肖浩春.函数对称性的研究.科技咨询导报.2007（9）
胡芳举.一个函数图象对称问题的探索.数学教学研究.2007（2）
温和群，王绍峰.函数的奇偶性、周期性、对称性三者关系的研究.教育实践与研究（中学版）.2006（5）
李文铭.初等几何.陕西：陕西科学技术出版社.2003（6）
罗增儒.数学解题学引论.陕西：陕西师范大学出版社.2004（7）.
华就昆.函数图形的对称性定理.浙江工商大学学报..2007（4）.
宋春红.运用对称性构造全等三角形解题.初中数学教与学.2007（3）.
Mercedes H. Rosas.the symmetric of fun_ction [J]. Annals of Combinatorics, Volume 6, Number 2.2002(11).
致 谢
在大学四年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！
感谢我的指导老师张军亮教授，他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．
感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！
04级(1)班黄忠源
2008年5月

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