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高考数学三年（2022-2024）真题精编卷
专题六 平面解析几何 参考答案
1.答案：A
解析：设M x0 , y0 ，则P x0 , 2y0 ，因为点 P在曲线 C上，所以
2 2
x20 2y
2 x0 y0
0 16 y0 0 ，即 1 y0 0 ，所以线段PP 的中点 M的轨迹16 4
x2 y2
方程为 1(y 0)，故选 A.
16 4
2.答案：A
2
解析：由椭圆C a 1 31的方程知离心率 e1 ，由椭圆C2的方程知 e2 .a 2
3 a2 1 4
又 e2 3e1，即 3 ，化简得 a
2 4a2 4， a2 ， a 1，
2 a 3
a 2 3 .故选 A.
3
3.答案：B
解析：由 x2 y2 4x 1 0，得 (x 2)2 y 2 5，所以圆心坐标为 (2,0)，半径
r 5，所以圆心到点 (0, 2)的距离为 (2 0)2 (0 2)2 2 2 .如图，由于圆心
(0, 2) r 5 10 6与点 的连线平分角 ，所以 sin ，所以 cos ，
2 2 2 2 2 4 2 4
sin 2sin cos 2 10 6 15所以 .故选 B.
2 2 4 4 4
数学·参考答案 第 1页（共 21页）
4.答案：C
解析：设直线 y x m与 x轴交于点M ( m, 0)，直线方程与椭圆方程联立得
4x2
2mx m2 1 0， (2m)2 4 4
3 m
2 1 0，解得 2 m 2 .
3
设F1( 2,0)，F2 ( 2,0)到直线 AB的距离分别为d1， d2，由题意得，
2 1 | AB | 1 d2 | AB | d1，所以 d1 2d2 .由三角形相似可得，2 2
d1 F1M | 2 m | 2 m 2，解得 或m 3 2 .因为 2 m 2，所以
d2 F2M | 2 m | 3
m 2 ，故选 C.
3
5.答案：ABD
解析：对于 A，易知 l : x 1，故 l与 A相切，A正确；
对于 B，A(0, 4)， A的半径 r 1，当 P，A，B三点共线时，P(4,4)，所以 | PA | 4，
| PQ | | PA |2 r 2 42 12 15，故 B正确；
对于 C，当 | PB | 2时，P(1, 2)， B( 1,2)或 P(1, 2)，B( 1, 2)，易知 PA与 AB
不垂直，故 C错误；
对于 D，记抛物线 C的焦点为 F，连接 AF，PF，易知 F (1,0)，由抛物线定义可
知 | PF | | PB |，因为 | PA | | PB |，所以 | PA | | PF |，所以点 P在线段 AF的中垂
1 15 15
线上，线段 AF的中垂线方程为 y x ，即 x 4y ，代入 y2 4x可得
4 8 2
y2 16y 30 0，解得 y 8 34，易知满足条件的点 P有且仅有两个，故 D
正确.故选 ABD.
6.答案：ABD
解析：因为坐标原点 O在曲线 C上，所以 2 | a | 4，又a 0，所以 a 2，所
以 A正确.
因为点 (2 2,0)到点F (2,0)的距离与到定直线 x 2的距离之积为
数学·参考答案 第 2页（共 21页）
(2 2 2)(2 2 2) 4，所以点 (2 2,0)在曲线 C上，所以 B正确.
设 P(x, y)（ x 0，y 0）是曲线 C在第一象限的点，则有 (x 2)2 y2 (x 2) 4，
y2 16 2 16所以 2 (x 2) ，令 f (x) (x 2)
2，则
(x 2) (x 2)2
f (x) 32 3 2(x 2)，因为 f (2) 1，且 f (2) 0，所以函数 f (x)在 x 2附(x 2)
近单调递减，即必定存在一小区间 (2 , 2 )使得 f (x)单调递减，所以在区间
(2 , 2)上均有 f (x) 1，所以 P(x, y)纵坐标的最大值一定大于 1，所以 C错误.
因为点 x 20 , y0 在 C上，所以 x0 2且 x0 2 y20 x0 2 4，得
y2 16 x 2 2 160 ，所以 y y
16 4
，所以 D
x 2 2 0 x 2 2 0 0 x 2 2 x 20 0 0 0
正确.综上，选 ABD.
7.答案：ACD
解析：由 | AF | | AM | x xF x，可知 M 3A p .代入 y
2 2px y 6，得 p（负
2 4 A 2
值已舍去）. k yAAB p 2 6，直线 AB的方程为 y 2 6x 6p .联立xA 2
y 2 6x 6p, p22 2 p
，得 24x 26 px 6 p 0，则 xAxB ，得 xB ，则
2 y 2px, 4 3
y 6

p . A 3 p, 6 p B p , 6

B 故 ， p ， F
p
, 0 ，M ( p,0) .选项 A，3 4 2 3 3 2
6 p
k 2 7 pAF 3 p 2 6 k
2 2
AB ，故正确.选项 B，|OB | xB yB p ，故错误.
p 3 2
4 2
选项 C， | AB | xA x
25
B p p 2p 4 |OF |，故正确.选项 D，易得12
3 6 OA p, p OB p , 6

p MA p 6
2 6
， ， , p ，MB p, p .
4 2

3 3 4 2 3 3
数学·参考答案 第 3页（共 21页）
2
因为OA p 3 OB p 2 p 2 0，所以 AOB为钝角.
4 4
2
因为MA MB p 5 p 2 p 2 0，所以 AMB为钝角，所以
6 6
OAM OBM 180 ，故正确.选 ACD.
8. 3答案：
2
| AB | | AB |解析：法一：由 10及双曲线的对称性得 AF2 5，因为 AF1 13，2
所以2a AF1 AF2 13 5 8，2c F
2 2 2 2
1F2 AF1 AF2 13 5 12，所
以a 4，c 6，则 C c 6 3的离心率 e .
a 4 2
2b2 b2 c2 a2
法二：因为 | AB | 10，所以 10，所以 5，又 AF1 13，所以a a a
2
F1F2 2c AF
2 | AB | 21 2
12，得c 6，所以 a 5a 36 0，得a 4，所

C c 6 3以 的离心率 e .
a 4 2
9. 1答案：2（答案不唯一，可以是 ， 2中任意一个）
2
解析：设直线 x my 1 0为直线 l，由条件知 C的圆心C(1,0)，半径R 2，C
2
l d 2
2 4 |m |
到直线 的距离 ， AB 2 R2 d 2 2 4
2 2 .由1 m 1 m 1 m2
S 8 1 4 |m | 2 8△ABC ，得 ，整理得 2m
2 5 |m | 2 0，解得m 2
5 2 1 m2 1 m2 5
或m 1 ，故答案可以为 2.
2
10. 3 5答案：
5
解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设 F1( c,0)， F2 (c,0)，B(0,n) .
数学·参考答案 第 4页（共 21页）
2 5 2
由 F2A F

2B，得 A c, n

.
8 2
又F1A F1B，且 F1A c, n ，F1B (c,n)，3 3 3 3 3

F A 8 2 8 2则 1 F1B
2 2 2 2
c, n (c,n) c n 0，所以 n 4c .
3 3 3 3
25 c2 4 n2 25c2 4n2
又点 A在双曲线 C上，则 9 92 2 1，整理得 2 2 9，a b a b
2 2 2
将 n2 4c2 ，b2 c2 a2 25c 16c 16e 9代入，得 2 9，即 25e
2 9，解得 e2
a c2 a2 e2 1 5
e2 1 e 3 5或 （舍去），故 .
5 5
2 F A
法二：由 F2A F2B得
2 2 ，设 F2A 2x，则 F2B 3x， | AB | 5x .3 F2B 3
由双曲线的对称性可得 F1B 3x，由双曲线的定义可得 AF1 2x 2a .
设 F1AF2 ，则 sin
3x 3 4 2x 2a
，所以 cos ，解得 x a，所以
5x 5 5 5x
2 2 2
AF1 4a，AF 2a .
16a 4a 4c 4
2 在△AF1F2中，由余弦定理可得 cos 16a2
，
5
即5c2 9a2 3 5，可得 e .
5
11. 1 3 答案： , 3 2
解析：法一：由题意知点 A( 2,3)关于直线 y a的对称点为 A ( 2,2a 3)，所以
k 3 a 3 aA B ，所以直线 A B的方程为 y x a，即 (3 a)x 2y 2a 0 .2 2
数学·参考答案 第 5页（共 21页）
由题意知直线 A B与圆 (x 3)2 (y 2)2 1有公共点，圆心为 ( 3, 2)，半径为 1，
| 3(3 a) ( 2) ( 2) 2a |
所以 1，整理得6a2 11a 1 3 3 0，解得 a ，所
(3 a)2 ( 2)2 3 2
1 3
以实数 a的取值范围是 , .
3 2
法二：(x 3)2 (y 2)2 1关于 y轴对称的圆的方程为 (x 3)2 (y 2)2 1，由题
a 3
意知该对称圆与直线 AB有公共点.直线 AB的方程为 y x a，即
2
(a 3)x 2y 2a 0，又对称圆的圆心为 (3, 2)，半径为 1，所以
| 3(a 3) ( 2) ( 2) 2a |
1，整理得6a2 11a 3 0 1 3，解得 a ，所以实
(a 3)2 ( 2)2 3 2
1 3
数 a的取值范围是 , . 3 2
法三：(x 3)2 (y 2)2 1关于 y轴对称的圆的方程为 (x 3)2 (y 2)2 1，由题
意知该对称圆与直线 AB有公共点.设直线 AB的方程为 y 3 k(x 2)，即
kx y 3 2k 0 | 5k 5 | ，因为对称圆的圆心为 (3, 2)，半径为 1，所以 1，
k 2 ( 1)2
4 k 3 k a 3 4 a 3 3 1 3解得 ，又 ，所以 ，解得 a ，所以实
3 4 2 3 2 4 3 2
a 1 3 数 的取值范围是 , 3 2
.

12.答案：13
解析：设F1为椭圆 C的左焦点.如图，连接 AF1，DF2， EF2 .因为椭圆的离心率
1 2 2
为 ，所以a 2c，所以椭圆 C x y的方程为 2 1，且△AF2 4c 3c2 1
F2为等边三角形，
则直线 DE的斜率 k 3 .
3
数学·参考答案 第 6页（共 21页）
由直线 DE垂直平分线段 AF2得，| AD | DF2 ，| AE | EF2 ，则△ADE的周长等
价于 |DE | DF2 EF2 DF1 DF2 EF1 EF2 4a .
3
设D x1, y1 ，E x2 , y2 ，又直线 DE的方程为 y (x c)，与椭圆方程联立得3
2
13x2 8cx 32c2 0 x x 8c x x 32c ，则 1 2 ， .由弦长公式13 1 2 13
|DE | k 2 1 x 2 21 x2 k 1 x1 x2 4x1x2 ，得
| DE | 1 8c
2
1 128c
2 48
c 6，即 c
13
.所以△ADE的周长为
3 13 13 13 8
4a 8c 13 .
13.答案： x 2y 2 2 0
l x y解析：法一：设直线 的方程为 1，则点M (m,0)，N (0,n)（m 0，n 0）.
m n
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 （ x1, x2 0， x1 x2）.
x1 x2 m 0
,
AB MN 2 2由题意知线段 与线段 有相同的中点，所以
y1 y2 0 n ,
2 2
x1 x2 m,
即 又因为 k k
y
，所以 1
y2 0 n n
AB MN .
y1 y2 n. x1 x2 m 0 m
x2 y21 1
1, 6 3
将点 A x1, y1 ，B x2 , y2 的坐标代入椭圆方程中，得 两式相减，得2 2
x2 y

2 1,
6 3
数学·参考答案 第 7页（共 21页）
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 y1 y2 y1 y 1 ，整理得 2 ，则
6 3 x1 x2 x1 x2 2
n n 1 ，则m
2 2n2①.又 |MN | 2 3，所以由勾股定理，得m2 n2 12
m m 2

. m 0 m 2 2, x y②联立①②，结合 ，n 0，解得 所以直线 l的方程为 1，
n 2, 2 2 2
即 x 2y 2 2 0 .
法二：设 E为 AB的中点，由题意知，点 E既是线段 AB的中点又是线段 MN的
中点，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，设直线 AB : y kx m，k 0，m 0
m
，则M ,0

，
k
N (0,m) E m ,m ， ，因为 |MN | 2 3，所以 |OE | 3 .
2k 2
y kx m,
联立直线 AB 与椭圆方程得 2 2 2 x2 y2 消掉 y得 1 2k x 4mkx 2m 6 0 .
1, 6 3
其中 (4mk)2 4mk 4 1 2k 2 2m2 6 0， x1 x2 ，1 2k 2
所以AB中点E 2mk m m 2mk m的横坐标 xE 2 ，又E , ，所以 x1 2k 2k 2 E

1 2k 2
.
2k
2 m 2 2k 0 m 0 m 因为 ， ，所以 k ，又 |OE | 2 2k
3，解得m 2，
2
2
所以直线 AB : y x 2，即 x 2y 2 2 0 .
2
14. 1答案：（1）
2
（2） l : y 3 x 3或 y 1 x
2 2
9
1
1 b
2 a 2 3
解析：（ ）由题知 ，解得 ，
9 9
2 1
b 3
a 4b2
c a2 b2 3， C c 1的离心率 e .
a 2
数学·参考答案 第 8页（共 21页）
3 2 3 5
（2） | PA | 32 ，
2 2
设点 B到直线 PA的距离为 h，
则△ABP 1 12 5的面积为 S | PA | h 9，解得 h .
2 5
| x 2y 6 | 12 5

易知直线 PA : x 2y 6 0，设 B(x, y) 5，则 5 ，
x2 y2
1 12 9
x 0
x 3
B(0, 3) B 解得 或 ， 或 3,
3
，
y 3
3

y 2
2
故 l : y 3 x 3或 y 1 x .
2 2
15. 1 x
2 y2
答案：（ ） 1
4 16
（2）证明见解析
解析：（1）因为双曲线 C的左焦点为 ( 2 5,0)，所以 c 2 5 .
e c 2 5由离心率 5，得a 2，所以b c2 a2 4，
a a
x2 y2
所以 C的方程为 1 .
4 16
（2）证明：设M x1, y1 （ x1 0， y1 0），N x2 , y2 ，显然直线 MN的斜率
不为 0，故设直线 MN的方程为 x my 4 .
因为 A1( 2,0)， A2 (2,0)，
所以直线MA1的方程为 y
y
1 (x y 2)，直线 NA 2
x 2 2
的方程为 y (x 2)，
1 x2 2
数学·参考答案 第 9页（共 21页）
y y
1 (x 2),
x1 2 y x 2 x 2
联立 消去 y得 1 2 .
y y 2 (x x 2), 1 2 y2 x 2
x2 2
x my 4,

联立 2 2 消去 x整理得 4m2 1 y2 x y 32my 48 0，
1, 4 16
则 4m2 1 0， 256m2 192 0 y 32m 48，则 1 y2 2 ， y y ，4m 1 1 2 4m2 1
所以my y 31 2 y1 y2 ，2
3 9
y1 x2 2 my1y2 6y
y2 y1
所以 1 2 23 1 3，x1 2 y2 my1y2 2y2 y y
2 1 2 2
x 2
所以 3，解得 x 1，
x 2
所以点 P在定直线 x 1上.
16. 1答案：（1） x2 y
4
（2）证明见解析
1 2
解析：（1）设点 P的坐标为 (x, y)，依题意得 | y | x2 y 2
，

1
化简得 x2 y ，
4
1
所以 W的方程为 x2 y .
4
（2）证明：设矩形 ABCD的三个顶点 A，B，C在 W上，
则 AB BC，矩形 ABCD的周长为 2(| AB | | BC |) .
设B t, t
2 1 ，依题意知直线 AB不与两坐标轴平行，
4
故可设直线 AB y t 2 1的方程为

k(x t)，不妨设 k 0，
4
1
与 x2 y 联立，得 x2 kx kt t 2 0，
4
则 k 2 4 kt t 2 (k 2t)2 0，所以 k 2t .
数学·参考答案 第 10页（共 21页）
设 A x1, y1 ，所以 t x1 k，所以 x1 k t，
所以 | AB | 1 k 2 x1 t 1 k
2 | k 2t | 1 k 2 | 2t k |，
2 2
| BC | 1 1 1 2t 1 k 1 2t 1 k
2
2kt 1，且2kt 1 0，
k k k k k 2
2(| AB | | BC |) 2 1 k
2
所以 2k 22 t k3 | 2kt 1| .k

2k 2 2k t k 3 1, t
1

2k
因为 2k 2t k 3 | 2kt 1| 2k 2k 2 t k 3 1, 1 t k ，
2k 2

2k 2 2k t k 3 1, t
k

2
当 2k 2k 2 0，即 k 1时，函数 y 2k 2 2k t k 3 1 , 1 在 上单调递 2k
减，函数 y 2k 1 k 2k 2 t k 3 1 在 , 上单调递减或是常函数(当 k 1时是
2k 2
常函数)，函数 y (2k 2 2k)t k k 3 1 在 ,

上单调递增，
2
所以当 t k 时， 2k 2t k 3 | 2kt 1|取得最小值，且最小值为 k 2 1，
2
3
2 1 k 2 2 1 k
2 2
又 k 2t，所以 2(| AB | | BC |)
k 2 k
2 1 k 2 .
3
2 1 k 2 2
令 f (k)
k 2
， k 1，
1
2 1 k 2 2 (k 2)(k 2)
则 f (k) 3 ，k
当1 k 2时， f (k) 0，当 k 2时， f (k) 0，
所以函数 f (k)在[1, 2)上单调递减，在 ( 2, )上单调递增，
所以 f (k) f ( 2) 3 3，
数学·参考答案 第 11页（共 21页）
3
2 1 k 2 2
所以 2(| AB | | BC |) 2 3 3 .k
当 2k 2k 2 0，即0 k 1时，函数 y 2k 2 2k t k 3 1 , 1 在 上单调
2k
递减，函数 y 2k 2k 2 t k 3 1 1在 , k 上单调递增，函数
2k 2
y 2k 2 2k t k 3 1 k 在 , 上单调递增，
2
所以当 t 1 时，2k 2t k 3 | 2kt 1|取得最小值，且最小值为 k 3 k k
2k 1 k
2 ，
3
2
2kt 1 0 2(| AB | | BC |) 2 1 k
2 2 1 k 2
又 ，所以 2 k k 2 1k .k
3
2 1 k 2 2
令 g(k) ，0 k 1，
k
1
2 1 k 2 2 2k 2 1
则 g (k)
k 2
，
2
当0 k 时， g (k) 0 2，当 k 1时， g (k) 0，
2 2
2 2
所以函数 g(k)在 0, 上单调递减，在 ,1 上单调递增，
2 2

所以 g(k) g 2 3 3，
2


3
2 1 k 2 2
所以 2(| AB | | BC |) 3 3 .
k
综上，矩形 ABCD的周长大于3 3 .
17.答案：（1）-1
（2 16 2）
9
解析：法一：（1）将 A(2,1)的坐标代入 C的方程，得 a2 2，
数学·参考答案 第 12页（共 21页）
2
C x的方程为 y2 1.
2
由题意知直线 PQ，AP，AQ的斜率都存在，
设直线 AP的方程为 y 1 k(x 2)，即 y kx 1 2k .
y kx 1 2k ,

由 x2 得 1 2k 2 x2 4 2k 2 k x 4 8k 8k 2 0 .
y
2 1,
2
2
xPx
8k 8k 4
A 1 2k 2
，
2
x 2 x 4k 4k 2 y kx 1 2k 2k
2 4k 1
又 A ， P ， .2k 2 1 P P 2k 2 1
2 2
将 k用 k x 4k 4k 2 2k 4k 1替换，可得 Q ， y ，2k 2 1 Q 2k 2 1
y y
k P Q 8kPQ 1，即 l的斜率为-1.xP xQ 8k
2 2 tan （ ）设 PAQ 2 ， 为锐角， tan 2 2 2 2 ，1 tan
解得 tan 2 或 tan 2（舍去）.
2
由题意知，直线 AP，AQ的斜率一正一负，不妨令 AP的斜率为正，
π
则 AP的倾斜角 ，
2
π 1
tan tan
2，
2 tan

即（1）中 k 2，代入 P，Q 10 4 2 4 2 5的坐标可得 P , ，
3 3



Q 10 4 2 , 4 2 5

，
3 3
5
直线 PQ的方程为 y x .
3
过 A 1 1作与 y轴平行的直线交 PQ于 B，令 x 2，得 y ，即 yB ，3 3
数学·参考答案 第 13页（共 21页）
S 1 16 2△PAQ yA yB xQ xP .2 9
法二：（1）将点 A 4 1的坐标代入双曲线方程得
a2
1，
a2 1
化简得 a4 4a2 4 0，解得 a2 2，
x2
故双曲线的方程为 y2 1.
2
由题意可知直线 l的斜率存在，设 l： y kx m，P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，
联立直线与双曲线的方程，消去 y得 2k 2 1 x2 4kmx 2m2 2 0，
x x 4km 2m
2 2
故 1 2 2 ， x x ，2k 1 1 2 2k 2 1
k k y 1 y 1 kx m 1 kx m 1AP AQ 1 2 1 2 0，x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
化简得2kx1x2 (m 1 2k) x1 x2 4(m 1) 0，
2k 2m2 2 4km
故 2 (m 1 2k)



2 4(m 1) 0，2k 1 2k 1
即 (k 1) (m 2k 1) 0，
而直线 l不过点 A，故 k 1 .
2 AP 0, π（ ）设直线 的倾斜角为 ， .
2
PAQ 2
由 tan PAQ 2 2，得 tan .
2 2
数学·参考答案 第 14页（共 21页）
由 2 PAQ π，得 kAP tan 2
y1 1，即 2 .
x1 2
y1 1
2, x1 2 x 10 4 2 4 2 5 5由 得 1 ， y1 ，代入直线 l的方程得m ，
x2 3 3 31
y
2
1 1, 2
故 x1 x
20 x x 682 ，3 1 2
.
9
而 | AP | 3 x1 2 ， | AQ | 3 x2 2 ，
由 tan PAQ 2 2，得 sin PAQ 2 2 ，
3
S 1故 △PAQ | AP | | AQ | sin PAQ 2 x1x2 2 x1 x2 4
16 2
.
2 9
2
18. y答案：（1） x2 1
3
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得c 2①.
y b b双曲线的渐近线方程为 x 3x， 3②.
a a
又 c2 a2 b2③，
联立①②③解得a 1，b 3，
C x2 y
2
双曲线 的方程为 1 .
3
（2）设直线 PQ的方程为 y kx n，
由点 P，Q的相对位置可知 k 0，且 k 3 .
将直线 PQ的方程代入 C的方程得 3 k 2 x2 2knx n2 3 0，
2
则 12 n2 3 k 2 0 x x 2kn n 3 ， 1 2 3 k 2 ， x1x2 .3 k 2
数学·参考答案 第 15页（共 21页）
2 3 n2 3 k 2
又 x1 x2 0， k 3，n 0，则 x1 x2 x1 x
2
2 4x1x2 2 .k 3
y y 3

x x ,
设点 M的坐标为 xM , y
M 1 M 1
M ，则
yM y2 3 xM x2 .
两式相减，得 y1 y2 2 3xM 3(x1 x2 ) .
又 y1 y2 kx1 n kx2 n k x1 x2 ，
k n2 3 k 2 kn
2 3xM k x1 x2 3 x1 x2 ，解得 xM .k 2 3
两式相加，得 2yM y1 y2 3 x1 x2 .
y1 y2 kx1 n kx2 n k(x1 x2 ) 2n，
2
2y k x x 3(x x ) 2n y 3 n 3 k
2 3n 3
M 1 2 1 2 ，解得 M k 2
x ，
3 k M
因此，点 M的轨迹方程为 y 3 x(x 0)，其中 k为直线 PQ的斜率.
k
若选条件①②，则证明③：
由题知直线 AB的方程为 y k(x 2)，
设 A xA , yA ，B xB , yB ，不妨取点 A在第一象限，
x 2k ,
yA k x AA 2 , k 3
则 解得
yA 3xA , y 2 3kA .
k 3
x 2k y 2 3k同理可得 B ，k 3 B
，
k 3
x x 4k
2
此时 A B 2 ， yA y
12k
.
k 3 B k 2 3
yM k xM 2 ,
点 M的坐标满足 3
yM xM , k
数学·参考答案 第 16页（共 21页）

x 2k
2 x
A
xB
M ,
解得 k
2 3 2

y 6k y A yBM 2 , k 3 2
故 M为线段 AB的中点，即 |MA | |MB | .
若选条件①③，则证明②：
3
当直线 AB的斜率不存在时，点 M即为点F (2,0)，此时 M不在直线 y x上，
k
不符合题意.
当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 y m(x 2)(m 0，且m 3)，
A xA , yA ，B xB , yB ，不妨取点 A在第一象限，
2m
y m x
xA ,
A A 2 , m 3
则 解得
yA 3xA , 2 3m
yA . m 3
x 2m 2 3m同理可得 B ， yB ，m 3 m 3
x x 2
此时 x A B 2m y y ， A yB 6mM 2 m2 3 M
，
2 m2 3
3 3
由于点 M同时在直线 y x上，故6m 2m2 ，
k k
解得 k m，因此PQ//AB .
若选条件②③，则证明①：
由题知直线 AB的方程为 y k(x 2)，
设 A xA , yA ，B xB , yB ，不妨取点 A在第一象限，
x 2k A , yA k xA 2 , k 3
则 解得
yA 3xA , y 2 3k A . k 3
x 2k同理可得 B ， y
2 3k
B ，k 3 k 3
数学·参考答案 第 17页（共 21页）
设线段 AB的中点为E xE , yE ，
x xA x 2k
2
B y y 6k则 E 2 ， y
A B .
2 k 3 E 2 k 2 3
|MA | |MB |， 点 M在线段 AB的垂直平分线上，
M y y 1即点 在直线 E x xk E 上.
3
将该直线方程与 y x联立，
k
2k 2
x M k 2
x
3 E
,
解得
y 6kM 2 yE , k 3
即点 M恰为线段 AB的中点，故点 M在 AB上.
19.答案：（1） x2 3， y2 0
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：将点P1(5,4)的坐标代入 C的方程得5
2 42 m，解得m 9，
所以C : x2 y 2 9 .
1 1
（1）过点P1(5,4)且斜率 k 的直线方程为 y (x 5) 4，2 2
与 C的方程联立，消去 y化简可得 x2 2x 15 0，
即 (x 5)(x 3) 0，解得 x 3或 x 5（舍去），
所以点Q1的横坐标为-3，将 x 3代入直线方程，得 y 0，
因此Q1( 3,0)，从而 P2 (3,0)，
即 x2 3， y2 0 .
（2）法一：由题意，Pn xn , yn ，Pn 1 xn 1, yn 1 ，Qn xn 1, yn 1 .
设过点Pn xn , yn 且斜率为 k的直线为 ln : y k x xn yn，
将 ln 的方程与 C的方程联立，消去 y化简可得
数学·参考答案 第 18页（共 21页）
1 k 2 x2 2k 2x 2ky x kx y 2n n n n 9 0，
2
由根与系数的关系得 x x 2k xn 2ky nn 1 n ，1 k 2
2k 2x xn 2ky
2
所以 n
k xn xn 2kyn
n 1 2 xn 2 .1 k 1 k
又Qn xn 1, yn 1 在直线 ln 上，
所以 yn 1 k xn 1 xn yn kxn 1 kxn yn .
从而 xn 1 yn 1 xn 1 kxn 1 kxn yn (1 k )xn 1 kxn yn
2
(1 k) k x n xn 2kyn 1 k2 kx1 k n
yn x y ，1 k n n
易知 xn yn 0，所以数列 x y
1 k
n n 是公比为 的等比数列.1 k
法二：由题意，Pn xn , yn ，Pn 1 xn 1, yn 1 ，Qn xn 1, yn 1 .
P Q y y由点 n， n所在直线的斜率为 k，可知 k n n 1 .xn xn 1
x2 2
又点P，Q 都在 C上，所以 n
yn 9
n n ，
x
2 2
n 1 yn 1 9
xn yn x即 n yn 9 ，
xn 1 yn 1 xn 1 yn 1 9
易知 xn yn 0，
1 y y n n 1 x 9 y
1 k xn xn 1 xn xn 1 y
n 1 n 1
则 n
yn 1 x y
y y
n n
1 k 1 9 n n 1 xn xn 1 yn yn 1 xn yn xn xn 1 xn 1 yn 1
1
xn 1 yn 1 xn yn 9x y n n x n 1 yn 11
xn yn xn 1 yn 1 9
x y
x
n n
n 1 yn 1
1 k
即数列 xn yn 是公比为 的等比数列.1 k
数学·参考答案 第 19页（共 21页）
3 1 k（ ）法一：由（2）知，数列 xn yn 是首项为 x1 y1 5 4 1，公比为 的1 k
等比数列.
t 1 k令 ，由0 k 1可知 t 1，则 x y t n 1
1 k n n
，
又 x2n y
2
n 9，所以 xn y
9 9
n n 1 ，xn yn t
9 t 2n 2 9 t 2n 2
可得 xn n 1 ， yn 2t 2t n 1
.
9 t2n 2 9 t2n 2 9 t2n 9 t2n 9 t2n 2P 9 t
2n 2
所以 n 2tn 1
, n 1 ，Pn 1 n , n ，Pn 2 n 1 ,2t n 1
.
2t 2t 2t 2t
x
所以直线 P P 的方程为 x x n 1 xnn n 1 n y y ，yn 1 y nn
即 9 t 2n 1 x 9 t 2n 1 y 9t n 1(1 t) 0 .
易知点 Pn 2到直线 PnPn 1的距离
2n 2 2n 2
9 t 2n 1 9 t 2n 1 9 t n 12t n 1 9 t n 1 9t (1 t)2t
d
9 t 2n 1 2 2 9 t 2n 1
9t n 2(t 1)2(t 1)
.
9 t 2n 1 2 2 9 t 2n 1
9 t2n 9 t2n 2
2 2n 2
P P 9 t 9 t
2n 2
又 n n 1 n n 1 2t 2t 2tn 2tn 1
(t 1)2 9 t 2n 1
2
29 t 2n 1

2t n
，
S 1 9(t 1)
3(t 1) 36k 3
则 n PnPn 1 d ，2 4t 2 21 k 2
即 Sn为定值，所以 Sn Sn 1 .
1 k
法二：由（2）知，数列 xn yn 是首项为 x1 y1 5 4 1，公比为 的等比1 k
数学·参考答案 第 20页（共 21页）
数列.
t 1 k令 ，由0 k 1可知 t 1，则 xn y t
n 1，
1 k n
x2 y2 9 9又 n n 9，所以 xn yn ，xn yn t
n 1
9 t 2n 2 2n 2
可得 x 9 tn 2t n 1
， yn .2t n 1
9 t2n 2 9 t2n 2 9 t2n 9 t2n 9 t2n 2 2n 2
所以Pn n 1 , P
9 t
，
2t 2tn 1 n 1 2tn
,
2tn
，Pn 2 n 1 , n 1 ，
2t 2t
2n 4 2n 4
P 9 t , 9 tn 3 n 2 n 2 .
2t 2t
9 t2n 4 9 t2n 2
x x 2tn 2 2tn 1 9 t
2n 1
所以 n 3 n
y y 9 t2n 4 9 t2n 2
2n 1 ，
n 3 n 9 t
2tn 2 2tn 1
9 t2n 2 9 t2n
x x 2tn 1
2n 1
n 2 n 1 2t
n 9 t
，
yn 2 y
2n 2 2n 2n 1
n 1 9 t 9 t 9 t
2tn 1 2tn
x
即 n 2
xn 1 x n 3 xn ，所以P P //P P ，
yn 2 yn 1 yn 3 y
n n 3 n 1 n 2
n
所以点Pn和点Pn 3到直线 Pn 1Pn 2的距离相等，
因此△PnPn 1Pn 2和△Pn 1Pn 2Pn 3的面积相等，即 Sn Sn 1 .
数学·参考答案 第 21页（共 21页）高考数学三年（2022-2024）真题精编卷 6.【2024 新课标Ⅰ卷】设计一条美丽的丝带，其造型 可以看作图中的曲线 C的一部分.已知 C过
专题六 平面解析几何
坐标原点 O，且 C上的点满足：横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线 x a(a 0)的距离
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
之积为 4，则( )
1.【2024 新课标Ⅱ卷】已知曲线C : x2 y2 16(y 0)，从 C上任意一点 P向 x轴作垂线PP ，P
为垂足，则线段PP 的中点 M的轨迹方程为( )
2 2 2 2
A. x y 1(y x y 0) B. 1(y 0)
16 4 16 8
C. y
2 x2 y2 x2
1(y 0) D. 1(y 0)
16 4 16 8
2 2
2【. 2023 新课标Ⅰ卷】设椭圆C1 :
x
y 2 1(a 1) x，C : y 2 1的离心率分别为 e ，e .若e 3e ，
a2 2 4 1 2 2 1
则a ( ) A.a 2
A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 6 B.点 (2 2,0)在 C上
3
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1
3.【2023 新课标Ⅰ卷】过点 (0, 2)与圆 x2 y2 4x 1 0相切的两条直线的夹角为 ，则
sin ( ) D.当点
4
x0 , y0 在 C上时， y0 x0 2
A.1 B. 15 C. 10 D. 6 7.【2022 新高考Ⅱ卷】已知 O为坐标原点，过抛物线C : y2 2px(p 0)焦点 F的直线与 C交于 A，
4 4 4
x2
B两点，其中 A在第一象限，点M ( p,0) .若 | AF | | AM |，则( )
4.【2023 新课标Ⅱ卷】已知椭圆C : y 2 1的左、右焦点分别为F1，F2，直线 y x m与 C交3 A.直线 AB的斜率为 2 6 B. |OB | |OF |
于 A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的 2倍，则m ( ) C. | AB | 4 |OF | D. OAM OBM 180
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 三、填空题
3 3 3 3
x2 y2
二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 8.【2024 新课标Ⅰ卷】设双曲线C : 2 2 1（a 0，b 0）的左、右焦点分别为F，F ，过 Fa b 1 2 2
5【. 2024 新课标Ⅱ卷】抛物线C : y2 4x的准线为 l，P为 C上的动点.对 P作 A : x2 (y 4)2 1的
作平行于 y轴的直线交 C于 A，B两点，若 F1A 13， | AB | 10，则 C的离心率为__________.
一条切线，Q为切点，对 P作 l的垂线，垂足为 B.则( )
9.【2023 新课标Ⅱ卷】已知直线 x my 1 0与 C : (x 1)2 y2 4交于 A，B两点，写出满足
A.l与 A相切 B.当 P，A，B三点共线时， | PQ | 15 8
“△ABC面积为 ”的 m的一个值__________.
C.当 | PB | 2时，PA AB D.满足 | PA | | PB | P 2 5的点 有且仅有 个
数学·专题六 第 1 页 共 2 页
2 2 直线 AP，AQ的斜率之和为 0.
10.【2023 x y新课标Ⅰ卷】已知双曲线C : 2 2 1（a 0，b 0）的左、右焦点分别为F1， F2 .a b （1）求 l的斜率；

点 A在 C上，点 B在 y轴上，F1A F1B， F2A
2
F2B，则 C的离心率为__________. （2）若 tan PAQ 2 2，求△PAQ的面积.3
11.【2022 新高考Ⅱ卷】设点 A( 2,3)，B(0,a)，若直线 AB关于 y a对称的直线与圆 2 2
18.【2022 x y新高考Ⅱ卷】已知双曲线C : 2 2 1（a 0，b 0）的右焦点为F (2,0)，渐近线方a b
(x 3)2 (y 2)2 1有公共点，则 a的取值范围是__________.
程为 y 3x .
2 2
12.【2022 新高考Ⅰ x y卷】已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)，C的上顶点为 A，两个焦点为Fa b 1
， （1）求 C的方程；
1 （2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x , y ，Q x , y 在C上，且 x x 0，F2，离心率为 .过F1且垂直于 AF2的直线与 C交于 D，E两点， | DE | 6

，则△ADE的周长 1 1 2 2 1 2
2
是__________. y1 0 .过 P且斜率为 3的直线与过 Q且斜率为 3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作
x2 y2 为条件，证明另外一个成立：①M在 AB上；② PQ//AB；③ MA MB .13.【2022 新高考Ⅱ卷】已知直线 l与椭圆 1在第一象限交于 A，B两点，l与 x轴、
6 3
19.【2024 新课标Ⅱ卷】已知双曲线C : x2 y2 m(m 0)，点 P1(5,4)在 C上，k为常数，0 k 1.
y轴分别交于 M，N两点，且 |MA | | NB |， |MN | 2 3，则 l的方程为__________.
按照如下方式依次构造点Pn (n 2,3, )：过 Pn 1作斜率为 k的直线与 C的左支交于点Qn 1，令Pn为
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
Qn 1关于 y轴的对称点.记Pn的坐标为 xn , yn .
2 2
14.【2024 新课标Ⅰ卷】已知 A(0,3) 和 P 3,
3
为椭圆C :
x y
2 a2
2 1(a b 0)上两点. 1b （1）若 k ，求 x ， y .2 2 2
（1）求 C的离心率； （2）证明：数列 xn y
1 k
n 是公比为 的等比数列.1 k
（2）若过 P的直线 l交 C于另一点 B，且△ABP的面积为 9，求 l的方程.
（3）设 Sn为△PnPn 1Pn 2的面积.证明：对任意正整数 n， Sn Sn 1 .
15.【2023 新课标Ⅱ卷】已知双曲线 C的中心为坐标原点，左焦点为 ( 2 5,0)，离心率为 5 .
（1）求 C的方程；
（2）记 C的左、右顶点分别为 A1， A2，过点 ( 4,0)的直线与 C的左支交于 M，N两点，M在第
二象限，直线MA1与NA2交于点 P，证明：点 P在定直线上.
16. 1 【2023 新课标Ⅰ卷】在直角坐标系 xOy中，点 P到 x轴的距离等于点 P到点 0, 的距离，记
2
动点 P的轨迹为 W.
（1）求 W的方程；
（2）已知矩形 ABCD有三个顶点在 W上，证明：矩形 ABCD的周长大于3 3 .
2 2
17.【2022 Ⅰ x y新高考 卷】已知点 A(2,1)在双曲线C : 2 2 1(a 1)上，直线 l交 C于 P，Q两点，a a 1
数学·专题六 第 2 页 共 2 页

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