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九年级上册数学 21.2 解一元二次方程 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
3．方程的根是（ ）
A． B． C．或 D．或
4．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1
5．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．4或-4 B．2或-2 C．2 D．-2
7．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　
A． B． C． D．
二、填空题
8．设、是方程的两个根，则 ．
9．已知一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根为 ．
10．若，则代数式的值为 ．
11．已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则 ．
12．设a、b是方程的两实数根，则 ．
三、解答题
13．解一元二次方程
（Ⅰ）x2﹣4x＝0；
（Ⅱ）3x2﹣x﹣1＝0．
14．已知关于的方程．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
15．如果，求的值．
16．阅读材料：
为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得．
当，时，，∴．∴；
当时，，∴．∴．
故原方程的解为， ，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　 　的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程：；
(3)请利用以上知识解方程：．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若，则m的值为多少？
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，．利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．D
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，方程变形后，利用因式分解法求出解即可，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
【详解】方程移项得：，
分解因式得：，
∴或，
∴，，
故选：．
4．C
【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值．
【详解】解：设：，则变为，
变形可得：，则，则，
解得：，即的值为2或﹣1，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解决本题的关键．
5．A
【详解】题考查一元二次方程的解的情况，分为时，是一元一次方程有解，时，方程为一元二次方程，要求，根据两种情况解题即可．
【分析】本解：当时，即，这时方程为，解得；
当时，方程为一元二次方程，则，
解得且，
综上所述，m的取值范围是，
故选：A．
6．D
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系以及相反数的定义列出关于k的方程k2-4=0，解得k=±2，然后分别计算根的判别式的符号，最后确定k=-2．
【详解】解：∵方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，
∴k2-4=0，∴k=±2；
当k=2，方程变为：x2+3=0，Δ=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-1=0，Δ=4＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
7．D
【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论．
【详解】解：方程有两个根和，
，，
设方程的两根为，，
则，，
，，
，
方程的两根为，，
，，
，，
，，
，
方程的较小根的范围为．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系．
8．
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．
首先根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案．
【详解】解：、是方程的两个根，
，
．
故答案为：．
9．
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为t，根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，则．
10．
【分析】移项整理后，直接开平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
11．2
【分析】根据根与系数的关系得、，再代入到即中解方程可得的两个值，根据根的判别式进行取舍．
【详解】解：∵、是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，，即：
∵，即，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、解方程、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系得到此方程的两根和与两根积是解题的关键．
12．2022
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，然后代入计算即可得．
【详解】解：是的两实数根，
，，
，，，
则
，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
13．（Ⅰ）x1＝0，x2＝4；（Ⅱ）x1＝，x2＝
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
解得：x1＝0，x2＝4；
（2）3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×3×（﹣1）＝13，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用简便的方法来求解一元二次方程是解决本题的关键．
14．(1)见解析
(2)的周长为．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可；
（2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴，，（）
∵斜边长，
∴，
∴，即，
整理得（负值舍去），
∴，
∴的周长为；
∴的周长为．
15．3
【分析】根据整式乘法法则，原式化为，可解得.
【详解】，
即，
，
，
∴或（舍去），
故答案为：3．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，体现了整体思想的运用.
16．(1)换元；转化
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
（2）利用换元法解方程即可；
（3）利用换元法解方程即可．
【详解】（1）解：利用了换元法，体现了转化思想；
故答案为：换元，转化；
（2）设，
原方程可变为，
则，
∴或，
∴，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴原方程的解为；
（3）设，
原方程可变为，
解得，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是理解并掌握换元法解方程．
17．（1）；（2）m的值为3．
【分析】（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥-；
（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，
∵即=-1,
∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0
解得：m1=﹣1，m1=3，
由（1）知m≥-，
∴m1=﹣1应舍去，
∴m的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
答案第1页，共2页
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