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3.3一元一次不等式七大题型（一课一讲）
题型一：判断是否为一元一次不等式
【经典例题1】下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-1】下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】下列各式是一元一次不等式的有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-4】下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-5】下列是一元一次不等式的有（ ）
，，，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-6】下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
；；；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
题型二：利用一元一次不等式定义求参数
【经典例题2】若是关于x的一元一次不等式，则 ．
【变式训练2-1】若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ．
【变式训练2-2】已知是关于的一元一次不等式，则 ．
【变式训练2-3】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
【变式训练2-4】当 时，不等式是关于的一元一次不等式．
【变式训练2-5】已知是关于x的一元一次不等式．
(1)求m的值．
(2)求出原一元一次不等式的解集．
题型三：解一元一次不等式
【经典例题3】解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来
．
【变式训练3-1】解不等式把解集在数轴上表示出来．
【变式训练3-2】解一元一次不等式，并把解在数轴上表示出来．
【变式训练3-3】解不等式：
【变式训练3-4】解不等式或解方程．
(1)．
(2)．
(3)
(4)
【变式训练3-5】解不等式：，并将解集在如图所示的数轴上表示出来．
题型四：一元一次不等式的整数解
【经典例题4】若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式训练4-1】已知关于的不等式有且只有个负整数解，则的取值范围是 ．
【变式训练4-2】若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【变式训练4-3】能使不等式成立的的最大整数值是 ．
【变式训练4-4】不等式的非负整数解为 ．
【变式训练4-5】已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【变式训练4-6】若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ．
题型五：解|x|≥a型的不等式
【经典例题5】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
(1)的解集为______，的解集为______；
(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
【变式训练5-1】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．

根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【变式训练5-2】已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
【变式训练5-3】认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：

由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______；
②利用数轴解不等式，并加以说明．
【变式训练5-4】先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
【变式训练5-5】阅读理解：
例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________
(2)解不等式：．
(3)解不等式：．
题型六：用一元一次不等式解实际问题
【经典例题6】经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套．
(1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？
(2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？
【变式训练6-1】为了落实东坡文化进校园，学校每年在初中年级举办国学诵读活动，学校计划购进类和类两种演出服装供学生使用，经市场调查，购买类演出服装套和类演出服装套共花费元，已知购买一套类演出服装比购买一套类演出服装多花元．
(1)购买一套类演出服装和购买一套类演出服装各需多少元？
(2)通过全校师生的共同努力，学校在今年市举办的东坡文化节诵读活动中成绩优秀，学校计划用不超过元的经费再次购买类演出服装和类演出服装共套，若单价不变，则这次至少可以购买多少套类演出服装？
【变式训练6-2】期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？
【变式训练6-3】为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
(2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【变式训练6-4】鸿志中学传统文化兴趣小组在国庆节前夕，准备组织学生为学校编织大、小两种中国结装饰校园，若编织2个大号中国结和4个小号中国结需要彩绳22米，若编织1个大号中国结和3个小号中国结需要彩绳14米．
(1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需要彩绳多少米？
(2)鸿志中学决定编织以上两种中国结共60个，编织这两种中国结的彩绳长不超过230米，那么该中学最多编织多少个大中国结？
【变式训练6-5】随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务．
(1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天；
(2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？
题型七：用一元一次不等式解几何问题
【经典例题7】在 ABC中，，若其周长为，则边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】 ABC的边长都为正整数，且，设，若为大于5的实数，满足，求三角形 ABC各边长．
【变式训练7-3】如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是．
(1) ．（用含m的代数式表示）
(2)当时，求m的最小值．
【变式训练7-4】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x．
(1)若腰长是底边长的2倍，求底边的长；
(2)求x的取值范围．
【变式训练7-5】如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．

【变式训练7-6】若是△ABC的两边且
（1）试求的值，并求第三边的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
（3）若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数．3.3一元一次不等式七大题型（一课一讲）
题型一：判断是否为一元一次不等式
【经典例题1】下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．
【详解】解：①，是方程；
②，不含未知数，不是一元一次不等式；
③，是代数式，不是不等式；
④，是一元一次不等式；
⑤，是一元一次不等式．
故选：A．
【变式训练1-1】下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据含有一个未知数且未知数最高指数为1次的不等式叫作一元一次不等式，化简后，根据定义判定即可．
本题考查了一元一次不等式，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A．含有2个未知数，不符合题意；
B．未知数的最高次数是2，不符合题意；
C．整理后不含未知数，不符合题意；
D．是一元一次不等式，符合题意．
故选：D．
【变式训练1-2】下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是一元一次不等式，该选项符合题意；
、不是一元一次不等式，该选项不符题意；
、不是一元一次不等式，该选项不符题意；
、不是一元一次不等式，该选项不符题意；
故选：．
【变式训练1-3】下列各式是一元一次不等式的有（ ）个
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断．
【详解】解：（1），（2），符合定义，
（3）不等号左边不是整式，不符合定义，
（4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义，
故选：B．
【变式训练1-4】下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义．熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键．
根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可．
【详解】①不是一元一次不等式，因为最高次数是2；
②不是一元一次不等式，因为是分式；
③不是一元一次不等式，因为有两个未知数；
④是一元一次不等式；
⑤是一元一次不等式．
综上，只有2个是一元一次不等式．
故选B．
【变式训练1-5】下列是一元一次不等式的有（ ）
，，，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键．
根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．
【详解】解：，是一元一次不等式，共2个，
故选：B．
【变式训练1-6】下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
；；；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式，依此即可求解，正确理解一元一次不等式的定义是解题的关键．
【详解】是一元一次不等式；是一元二次不等式，不是一元一次不等式；
不是一元一次不等式；，整理得是一元一次不等式；
是一元一次不等式；不是一元一次不等式；
综上可知：是一元一次不等式，共个，
故选：．
题型二：利用一元一次不等式定义求参数
【经典例题2】若是关于x的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到且，即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【变式训练2-1】若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，掌握基本概念和运算法则是解题的关键．先根据一元一次不等式的定义求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可．
【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：，
∴，
∴原不等式化为：，
解得：．
故答案为：．
【变式训练2-2】已知是关于的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，则或，且，解得，
故答案为：．
【变式训练2-3】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】∵是关于x的一元一次不等式，
∴，，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
【变式训练2-4】当 时，不等式是关于的一元一次不等式．
【答案】－2
【分析】根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵不等式是关于的一元一次不等式，
∴k 2≠0，，
解得：k＝－2，
故答案为：－2．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义：用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式．
【变式训练2-5】已知是关于x的一元一次不等式．
(1)求m的值．
(2)求出原一元一次不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可．
（2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步骤求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，解得，，
所以．
（2）解：原一元一次不等式为，
移项得，
合并同类项得，
解得．
【点睛】题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
题型三：解一元一次不等式
【经典例题3】解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来
．
【答案】，解集表示在数轴上见详解
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据不等式的性质，解一元一次不等式的方法，把解集表示在数轴上的方法即可求解．
【详解】解：
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，，
解集表示在数轴上，如图所示，
【变式训练3-1】解不等式把解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见解析
【分析】本题主要考查了解不等式，先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后将解集表示在数轴上即可．解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
在数轴上表示如下：
【变式训练3-2】解一元一次不等式，并把解在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的方法步骤，在数轴上表示不等式的解集，是解决问题的关键．先去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1即可求出x的取值范围，再把x的取值范围在数轴上表示出来即可．
【详解】，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
将解集在数轴上表示出来如下：
【变式训练3-3】解不等式：
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，即可求解，
本题考查了，解一元一次不等式，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式的方法．
【详解】解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
【变式训练3-4】解不等式或解方程．
(1)．
(2)．
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)原方程无解
【分析】本题考查解一元一次不等式及解分式方程，熟知不等式及分式方程的解法是正确解决本题的关键．
按一元一次不等式的解法及分式方程的解法分别计算每个小题，记得分式方程要检验．
【详解】（1）解：
可得，
则，
解得；
（2）解：
可得：
则
解得．
（3）解：
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的解为：；
（4）解：
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
∴原方程无解．
【变式训练3-5】解不等式：，并将解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1，最后在数轴上表示不等式的解集即可．
【详解】解：，
去分母，得
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
在数轴上表示如下：
．
题型四：一元一次不等式的整数解
【经典例题4】若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解．解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论．
【详解】解：∵，
解得：，
∵关于x的不等式的最小整数解是，
∴，
∴，
∴实数的值可能是．
故选：C．
【变式训练4-1】已知关于的不等式有且只有个负整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据关于的一元一次不等式不等式的个负整数解只能是、、，求出的取值范围即可．此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
【详解】解：，
，
，
∵不等式有个负整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-2】若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解；
首先求出不等式的解集，得出这三个正整数解分别是1，2，3，进而可得m的取值范围．
【详解】解：解不等式得：，
∵关于x的不等式只有3个正整数解，
∴这三个正整数解分别是1，2，3，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】能使不等式成立的的最大整数值是 ．
【答案】
【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可．
【详解】解：
解得：，
∴使不等式成立的的最大整数值是；
故答案为：．
【变式训练4-4】不等式的非负整数解为 ．
【答案】0，1，2，3
【分析】本题考查解一元一次不等式，求出一元一次不等式的解集，根据要求写出符合要求的非负整数解即可．
【详解】解：
，
∴不等式的非负整数解为：0，1，2，3．
故答案为：0，1，2，3．
【变式训练4-5】已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值．
【详解】解：
，
不等式的最大整数解为2，
关于的方程的解是，
，
，
故答案为：2．
【变式训练4-6】若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：不等式的解集是：，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴，
∴a的取值范围是．
∴整数a的最小值是10．
故答案为：10．
题型五：解|x|≥a型的不等式
【经典例题5】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
(1)的解集为______，的解集为______；
(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
【答案】(1)；或
(2)
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料的结论即可解答；
（2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可．
【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为；
的解集为或．
故答案为；或．
（2）解：二元一次方程组
可得：，即
，
是正整数
．
【变式训练5-1】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．

根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，或
(2)或
(3)
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集；
（2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为；
不等式（）的解集为或；
（2）由（1）得：由于，
所以或，
所以或，
所以的解集为或；
（3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值，
因为数轴上1和对应点的距离为3，
所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得；
所以方程的解为或，
所以不等式的解集为．
【变式训练5-2】已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
【答案】(1)6；2；12
(2)0
(3)10
(4)或
【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离．
（2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解．
（3）由题意得：，去绝对值即可求解．
（4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为，
、两点的距离 6 2 12
故答案为：6、2、12．
（2）7到的距离为，
7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为，
∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7；
，
答：所有这些整数的和为0．
（3）由题意得：，
则．
（4）当时，
不等式，即：，
解得：；
当时，
不等式，即，
则无解，
当时，不等式，即：，
解得：，
综上所述：有理数x的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键．
【变式训练5-3】认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：

由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______；
②利用数轴解不等式，并加以说明．
【答案】(1)3，
(2)，最小值为1
(3)①；②
【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可；
（2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可；
（3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解．
【详解】（1）解：C到B的距离为；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；
（2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，

故当时，取最小值，且为；
（3）①的解集为或，
故答案为：或；
②当时，，
∴；
当时，，
∴x无解；
当时，，
∴；
综上所述：或．

【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键．
【变式训练5-4】先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可；
（2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当时，
原方程可化为，解得；
②当时，
原方程可化为：，
解得：，
所以原方程的解为或；
（2）解：分情况讨论：
①当时，
解得：；
②当时，
解得：，
所以不等式解集为或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．
【变式训练5-5】阅读理解：
例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________
(2)解不等式：．
(3)解不等式：．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可；
（2）先求出的解，再求的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5，
∴方程的解为：或，
故答案为：或．
（2）解：在数轴上找出的解，如图：

∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程的解为或，
∴不等式的解集为．
（3）解：在数轴上找出的解，
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值，
∵在数轴上4和对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边，
若x对应的点在4的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
题型六：用一元一次不等式解实际问题
【经典例题6】经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套．
(1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？
(2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？
【答案】(1)甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套
(2)4500套
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，列出分式方程，进行求解即可；
（2）设小李向甲工厂购买y套，根据题意，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据题意，可得
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套．
（2）设小李向甲工厂购买y套．
根据题意，得，
解得．
答：小李最多能向甲工厂购买4500套画图工具．
【变式训练6-1】为了落实东坡文化进校园，学校每年在初中年级举办国学诵读活动，学校计划购进类和类两种演出服装供学生使用，经市场调查，购买类演出服装套和类演出服装套共花费元，已知购买一套类演出服装比购买一套类演出服装多花元．
(1)购买一套类演出服装和购买一套类演出服装各需多少元？
(2)通过全校师生的共同努力，学校在今年市举办的东坡文化节诵读活动中成绩优秀，学校计划用不超过元的经费再次购买类演出服装和类演出服装共套，若单价不变，则这次至少可以购买多少套类演出服装？
【答案】(1)一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元．
(2)至少可以购买套类演出服装．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元，根据购买套类演出服装和套类演出服装共花费元，购买一套类演出服装比购买一套类演出服装多花元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买套类演出服装，则购买套类演出服装，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元．
（2）解：设购买套类演出服装，则购买套类演出服装，依题意，得：
，
解得：．
答：本次至少可以购买套类演出服装．
【变式训练6-2】期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？
【答案】(1)购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元
(2)15个
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题．
（1）设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”即可列出方程组，求解即可；
（2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，则第二次购买时总费用为元，根据“第二次购买总费用不超过上一次总费用的”即可列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元，
依题意，得：
，解得，
答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．
（2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，
依题意，得：
解得：
答：至多需要购买15个甲种笔记本．
【变式训练6-3】为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
(2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【答案】(1)38吨
(2)3个
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨，根据一共要处理920吨垃圾列出方程求解即可；
（2）设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，则提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨），个B型点位每天处理生活垃圾（吨），再根据一共处理的垃圾要不少于吨列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨，
根据题意，得，
解得．
答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨．
（2）解：设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，
由（1）可知垃圾分类要求提高前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则垃圾分类要求提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨）；
垃圾分类要求提高前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则垃圾分类要求提高后，每个B型点位每天处理生活垃圾（吨）．
根据题意，得，
解得．
是正整数，
符合条件的的最小值为3．
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【变式训练6-4】鸿志中学传统文化兴趣小组在国庆节前夕，准备组织学生为学校编织大、小两种中国结装饰校园，若编织2个大号中国结和4个小号中国结需要彩绳22米，若编织1个大号中国结和3个小号中国结需要彩绳14米．
(1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需要彩绳多少米？
(2)鸿志中学决定编织以上两种中国结共60个，编织这两种中国结的彩绳长不超过230米，那么该中学最多编织多少个大中国结？
【答案】(1)编织1个大号中国结需要彩绳5米，编织1个小号中国结需要彩绳3；
(2)该中学最多编织25个大中国结．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设编织1个大号中国结需要彩绳x米，编织1个小号中国结需要彩绳y米，根据编织2个大号中国结和4个小号中国结需要彩绳22米，若编织1个大号中国结和3个小号中国结需要彩绳14米，再建立方程组解题即可；
（2）设该中学编织m个大中国结，根据编织这两种中国结的彩绳长不超过230米，再建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设编织1个大号中国结需要彩绳x米，编织1个小号中国结需要彩绳y米，根据题意得．
，
解得，
答：编织1个大号中国结需要彩绳5米，编织1个小号中国结需要彩绳3．
（2）解：设该中学编织m个大中国结，根据题意得
，
解得，
答：该中学最多编织25个大中国结．
【变式训练6-5】随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务．
(1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天；
(2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？
【答案】(1)B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天
(2)组至少增加17人
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．
（1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据两组合作完成，需12天可完成此项任务，列出分式方程求解即可，注意检验；
（2）设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（天）
答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天；
（2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据题意得：
，即，
解得：，
是正整数，
m最小可取17，
答：组至少增加17人．
题型七：用一元一次不等式解几何问题
【经典例题7】在 ABC中，，若其周长为，则边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键．
【详解】解：设，
∵在中，，若其周长为，
∴，
∵，即，
解得：，
又∵，
解得：，
∴，
即．
故选：B．
【变式训练7-1】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
解得：，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
【变式训练7-2】 ABC的边长都为正整数，且，设，若为大于5的实数，满足，求三角形 ABC各边长．
【答案】，
【分析】本题考查的是非负数的性质，因式分解的应用，勾股定理的应用，理解题意，将不等式化简得出是解题关键．
由可得，则，可得，结合题意及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵n为大于5的实数，
∴，而，
∴，
解得：，
∴，
∵的边长都为正整数，且，
∴．
【变式训练7-3】如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是．
(1) ．（用含m的代数式表示）
(2)当时，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键．
（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解．
（2）利用，建立方程求得，求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∵，，
∴，
∴，
m最小取．
【变式训练7-4】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x．
(1)若腰长是底边长的2倍，求底边的长；
(2)求x的取值范围．
【答案】(1)底边的长为4
(2)x的取值范围为
【分析】此题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系一元一次方程的实际应用及一元一次不等式的实际应用．
（1）根据题意得腰长为x，则底边长为，利用三边之和等于20列出方程求解即可；
（2）利用两腰之和大于底列出不等式，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得腰长为x，则底边长为，
解得，则，
答：底边的长为4；
（2）解：根据题意得：
即
解得：，
答：x的取值范围为．
【变式训练7-5】如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．

【答案】能，或
【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可．
【详解】解：分两种情况：
①当点P在上时，如图1所示：

假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则
解得：
又∵P在上运动，，
∴；
②当点P在上时，

假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则
解得：
又∵P在上运动，，
∴；
综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或．
【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键．
【变式训练7-6】若是△ABC的两边且
（1）试求的值，并求第三边的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
（3）若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数．
【答案】（1）；（2）10或11；（3）三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
【分析】（1）利用非负数的性质可求得、的值，根据三角形三边关系可求得的范围；
（2）分腰长为3或4两种情况进行计算；
（3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得，可得出三个角的度数．
【详解】解：（1）∵，
， ，
，
；
（2）当腰长为3时，
此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；
当腰长为4时，
此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；
综上可知等腰三角形的周长为10或11；
（3）当底角为、顶角为时，则根据三角形内角和为 可得
，
解得，
此时三个内角分别为、、；
当顶角为、底角为时，则根据三角形内角和为 可得
，
解得，
此时三个内角分别为、、；
当底角为、时，则等腰三角形性质可得
，
解得，
此时三个内角分别为、、；
综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．

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