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专题2.1 认识一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程.
（2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2.
【知识点二】一元二次方程的一般形式
一般形式
项及项的系数 二次项为 二次项系数为
一次项为一次项系数为
常数项为
特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0.
【知识点三】一元二次方程的解（根）
概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】一元二次方程的定义
【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)或 (2)
【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键．
（1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可；
（2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况：
①，解得：，该方程是一元一次方程；
②，解得：，该方程是一元一次方程；
③，解得：，该方程是一元一次方程；
所以当或时，该方程是关于的一元一次方程；
（2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且，
解得：，都满足，
所以时，该方程是关于的一元二次方程．
【变式1】．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
解：A、当时，方程是一元一次方程，故本选项错误；
B、方程是一元一次方程，故本选项错误；
C、方程是一元三次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程可得，再解即可 ．
解： 由题意得：，
解得：，
故答案为：
【题型2】一元二次方程的一般形式
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ； (2)．
（23-24九年级上·全国·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ；
(2)．
【答案】(1)，二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是
(2)，二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0，或，二次项系数是1 ，一次项系数是，常数项是0
【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，形如（a、b、c为常数，）的整式方程叫做一元二次方程，其中a为二次型系数，b为一次项系数，c为常数项．
（1）解：
，
二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是；
（2）解：，
，或
二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0或二次项系数是1 ，一次项系数是，常数项是0．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案．
解：，
则，
∴，
由题意得：，
解得：，
故选：A．
【变式2】（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
解：方程
去括号得：，
即，
移项合并同类项得：，
即可化成，
故答案为：．
【题型3】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值（解）
【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值．
（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将a代入方程再将方程变换得到，，代入所求代数式即可求解；
解：∵a是方程的一个根，
∴，，
∴
．
【变式1】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2023 D．2025
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：C．
【变式2】（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ．
（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解、分式的化简求值，由题意得，把代入得，，即，，，再把式子代入求解即可．
解：∵a是方程的一个根，
把代入得，，
∴，，即，，
∴，
故答案为：．
【题型4】一元二次方程的解（根）中的估算
【例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
（1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
（2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
【答案】(1)见解析
(2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3
【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤．
（1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格；
（2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答．
（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴补充表格如下：
第一步：

3
所以
第二步：


所以 ．
（2）解：由（1）可得：，
∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：
→→→→
输出
分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格得，当时，，即，从而可以判断时的大致范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：根据表格得，当时，，
即，
∴方程的正数解的大致范围为，
故选：．
【变式2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1）
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1）
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
【答案】
【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间．
解：，
当时，随增大而减小，
根据表格得，当时，，即，
∵0距近一些，
∴方程的一个近似根是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
解：∵m为的根，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点拨】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ．
（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ．
【答案】6
【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可．
解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴
；
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（2024·广东深圳·三模）已知，．
（1）化简A；
（2）若a是方程的一个根，求A的值．
（2024·广东深圳·三模）已知，．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查异分母分式的减法运算，一元二次方程的解；
（1）通分，化成同分母，进行计算即可；
（2）把代入方程，得到，整体代入（1）中结果进行求解即可．
解：（1）
；
（2）∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
【例2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

（1）试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．
（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．
【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2．
【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可．
（2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键．
解：（1）根据定义，方程变形为，
得到，
且，
故方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
∴，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故的面积为2．专题2.1 认识一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程.
（2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2.
【知识点二】一元二次方程的一般形式
一般形式
项及项的系数 二次项为 二次项系数为
一次项为一次项系数为
常数项为
特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0.
【知识点三】一元二次方程的解（根）
概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】一元二次方程的定义
【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【变式1】．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是
【题型2】一元二次方程的一般形式
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ； (2)．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【变式2】（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
【题型3】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值（解）
【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值．
【变式1】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2023 D．2025
【变式2】（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ．
【题型4】一元二次方程的解（根）中的估算
【例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
（1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
（2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：
→→→→
输出
分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1）
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ．
2、拓展延伸
【例1】（2024·广东深圳·三模）已知，．
（1）化简A；
（2）若a是方程的一个根，求A的值．
【例2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

（1）试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．

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