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专题2.5 用公式法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
2.一元二次方程根的判别式
用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式； 　②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用公式法解一元二次方程
【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程：
(1)． (2)．
(3)． (4)．
【答案】(1)， (2)方程无解
(3)， (4)，
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可．
（1）（2）运用公式法解一元二次方程即可；
（3）（4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可；
解：（1）
，
，
∴，
解得，；
（2）
，
，
方程无解；
（3）
，
，
∴，
解得，；
（4）
，
，
∴，
解得，．
【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
利用公式法即可求解．
解：，
∴，
，
，
∵一元二次方程式的两解为、，且，
∴的值为．
故选：A．
【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【答案】
解：本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可．
解：根据题意得：，
则该一元二次方程是，
故答案为：．
【题型2】公式法解一元二次方程的应用
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点设，，则线段的长是方程的一个根吗？请说明理由．
【答案】是，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理，公式法解一元二次方程，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，公式法求出方程的根，进行判断即可．
解：是，理由如下：
由作图可知：，
∵，，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的根为：，
∴，
∴的长是方程的一个根．
【变式1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解方程，得出，由折叠得出，根据勾股定理得出，根据，得出，即可得出答案．
解：方程的根为：
，
由折叠可知，
，
．
，
，
的长度是方程的一个根．
【点拨】本题巧妙地将代数问题与几何问题结合在一起，主要考查了二元一次方程根的求解、翻折的性质、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，并能用含，的代数式正确表示出图形中各线段的长度．
【变式2】（22-23九年级上·四川成都·开学考试）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，一元二次方程的求解，分别用a表示出至，然后将至代入得到关于a的方程，解出a的值即可．
解：，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
【题型3】不解方程，判断一元二次方程根的情况
【解题方法】一化：化为一般形式；二找：找出abc,并确定其值；三算：算的值；四判：判断根的情况。
【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）不解方程，判断关于x的方程的根的情况．
【答案】见解析
【分析】利用分类讨论：（1）若，由，根据判断方程根的情况；（2）若，方程为，方程有1个实数根．
解：（1）若，由，
当时，，方程有两个相等的实数根；
当且时，，方程有两个不相等的实数根；
当时，，没有实数根；
（2）若，方程为，有一个实数根．
【点拨】本题主要考查了方程解的情况，关键是分类讨论思想以及根的判别式的应用．
【变式1】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实根 D．无法确定
【答案】A
【分析】此题主要考查了根的判别式，正确求出根的判别式是解题关键．
整理一元二次方程把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
解：一元二次方程整理为，
∴．
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ．
【答案】没有实数根
【分析】本题考查了根的判别式判断根的情况，根据一元二次方程的根与有如下关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，进行求解即可．
解：方程整理得：，
，，，
，
该方程没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【题型4】已知方程根的情况确定参数的取值范围
【例4】（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
【答案】(1)且； (2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根的判别式．
（1）由方程有实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围；
（2）由，求出的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出，两种情况都根据三角形的三边关系检验．
解：（1），
方程有实数根，
且，
且，
解得且；
（2）解：根据题意得且，
解得且，
当时，方程的一根是3，把代入方程得，
解得，
此时方程的另一根为，
，
三角形存在；
；
当，
，
方程为．
解得，
一腰长为3，
不合题意，
综上，．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，则，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
解：由题意知：
∴，且．
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案．
解：∵关于的一元二次方程，
∴，即，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
【题型5】由一元二次方程根的判别式进行证明
【例5】（23-24九年级上·福建漳州·期中）某班学习小组研究关于x的一元二次方程时，组员将k取不同值进行研究，发现无论k为何值，都有以下结论．
（1）方程一定有实数根，请你加以证明；
（2）方程有一个根是固定数值，请你说出这个根______，并加以证明．
【答案】(1)见解析 (2)2，见解析
【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是：
（1），据此可得答案；
（2）将方程变形为，根据有一个根是固定数值，得到不含k的项，即，可得的值，把代入原方程，判断两边是否相等即可．
解：（1）依题意得：
，
无论为何值，方程一定有实数根；
（2），
则
∵方程有一个根是固定数值，
∴，则，
把代入原方程，
左边，
时，方程左边右边，
无论为何值，方程有一个根是固定数值．
故答案为：2．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据直线不经过第四象限，可得，分情况讨论：当时，方程变为一元一次方程，有1个实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根，即可进行选择．
解：∵直线不经过第四象限，
∴，
解得，
当时，
关于x的方程化为，
∴方程有1个实数根；
当时，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程的实数根为1或2个，
故选：D．
【变式2】以m= 为反例，可以证明命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题（写出一个m值即可）．
【答案】2
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可做出判断．
解：∵方程x2+x+m=0，必有实数解，
∴△=1﹣4m≥0，
解得：m≤，
则命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0，必有实数解．”是假命题．则可以作为反例的是m=2，
故答案为2．
【点拨】此题考查了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
解：（1）∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案.
解：∵，
∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
2、拓展延伸
【例1】若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．
解∶∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【例2】（21-22九年级上·重庆璧山·期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35 B．30 C．26 D．21
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．
解：整理不等式组得：
由①得：，
由②得：x<4
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，
∴，
解得：，
∵有实数根，
∴
解得：a≤9，
∵方程是一元二次方程，
∴a≠5
∴，且a≠5，
满足条件的整数有：6、7、8、9；
∴6+7+8+9=30，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键．专题2.5 用公式法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
2.一元二次方程根的判别式
用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式； 　②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用公式法解一元二次方程
【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程：
(1)． (2)．
(3)． (4)．
【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【题型2】公式法解一元二次方程的应用
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点设，，则线段的长是方程的一个根吗？请说明理由．
【变式1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23九年级上·四川成都·开学考试）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
【题型3】不解方程，判断一元二次方程根的情况
【解题方法】一化：化为一般形式；二找：找出abc,并确定其值；三算：算的值；四判：判断根的情况。
【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）不解方程，判断关于x的方程的根的情况．
【变式1】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实根 D．无法确定
【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ．
【题型4】已知方程根的情况确定参数的取值范围
【例4】（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【题型5】由一元二次方程根的判别式进行证明
【例5】（23-24九年级上·福建漳州·期中）某班学习小组研究关于x的一元二次方程时，组员将k取不同值进行研究，发现无论k为何值，都有以下结论．
（1）方程一定有实数根，请你加以证明；
（2）方程有一个根是固定数值，请你说出这个根______，并加以证明．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【变式2】以m= 为反例，可以证明命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题（写出一个m值即可）．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
2、拓展延伸
【例1】若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【例2】（21-22九年级上·重庆璧山·期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35 B．30 C．26 D．21

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