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专题2.7 用因式分解法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
【知识点二】常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
【要点提示】
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用因式分解法解一元二次方程
【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)．
【变式1】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．12 B．14 C．12或14 D．24
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ．
【题型2】用因式分解法解一元二次方程组的应用
【例2】（22-23八年级上·山西太原·期末）阅读材料，解答问题．
解方程：，
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为：，
解得：，，
或，
，，
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知，求的值．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．3或
【变式2】（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ．
【题型3】用换元法解一元二次方程
【例3】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)
【变式1】（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n 行有n个点…，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．则三角点阵中前 行的点数和是 325．
【题型4】用合适的方法解一元二次方程
【例4】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：这个一元二次方程一定有实数根；
（2）设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．
【变式1】（20-21八年级上·上海静安·课后作业）解方程的适当方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解
【变式2】（21-22九年级上·全国·课后作业）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当．
（1），应选用 法；
（2），应选用 法；
（3），应选用 法；
（4），应选用 法．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2019·上海·中考真题）解分式方程：
【例2】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
2、拓展延伸
【例1】（2024·上海·模拟预测）求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值
【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根．
（1）求实数的取值范围：
（2）已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长．专题2.7 用因式分解法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
【知识点二】常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
【要点提示】
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用因式分解法解一元二次方程
【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用十字相乘法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可．
解：（1），
，
或，
∴；
（2），
，
∴或，
∴．
【变式1】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．12 B．14 C．12或14 D．24
【答案】A
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解法求出已知方程的解，再利用三角形三边关系确定出第三边长，即可求出周长．
解：方程，
分解因式得：，
可得或，解得：或，
∵三角形第三边的长是方程的根，
∴第三边的长为5或7，
当第三边长为5时，周长为；
当第三边长为7时，，不能构成三角形，舍去，
综上，该三角形的周长为12．
故选：A．
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
解：由方程得，
，．
因为方程的两个根与方程的两个根相同，
则将代入得，
，
解方程得，
，，
所以．
故答案为：．
【题型2】用因式分解法解一元二次方程组的应用
【例2】（22-23八年级上·山西太原·期末）阅读材料，解答问题．
解方程：，
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为：，
解得：，，
或，
，，
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知，求的值．
【答案】4
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值．
解：设，则原方程可化为：，
解得：，，
∵，
则．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．3或
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可．
解：设，则此方程可化为，
∴，
∴或，
解得，，
∴的值是1或．
当时，，
∵，
∴此方程无解，
∴的值是1．
故选：B．
【变式2】（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．
利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
解：∵，
∴，
，
设，则，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
当时，则，
整理得：，
∴，
解得：，，
经检验，，都是方程的解，
∴的值为；
当时，则，
整理得：，
，
∴时，方程无解．
综上所述，的值为，
故答案为：．
【题型3】用换元法解一元二次方程
【例3】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)
【答案】(1)，； (2)，；(3)，；(4)．
【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）（2）利用因式分解法求解即可； （3）利用配方法求解即可；
（4）两边都乘以，化分式方程为整式方程，再进一步求解即可．
解：（1），
，
则或，
解得，；
（2），
，
则，
或，
解得，；
（3），
，
则，即，
，
则，；
（4）两边都乘以，得：，
整理，得：，
解得，，
检验：当时，，舍去；
当时，；
所以分式方程的解为．
【变式1】（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可；
解：由图②得：当时，在减小，
当时，先变小后变大，
∴应从出发沿运动到，再运动到，
或应从出发沿运动到，再运动到，
设应从出发沿运动到，再运动到，
如图，连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴当在处时，，即，
∴，
当在处时，，即，
当位于处时，，即，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴，
∴菱形的周长为；
故选C
【点拨】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键.
【变式2】（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n 行有n个点…，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．则三角点阵中前 行的点数和是 325．
【答案】25
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前五行共有个点，前10行共有个点，前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程，求的值即可．此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，
则前五行共有个点，
前10行共有个点，
，
前行共有个点，
然后求它们的和，
前行共有个点，
由题意可得：，
整理得，
，
，，
为正整数，
．
是前25行的点数之和；
故答案为：25
【题型4】用合适的方法解一元二次方程
【例4】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：这个一元二次方程一定有实数根；
（2）设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．
【答案】(1)证明见解析； (2)或．
【分析】（）利用根的判别式求出即可；
（）把原方程因式分解，求出方程的两个根，，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题；
本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）证明：∵，
∵，
∴，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：原方程可变为，
则方程的两根为，，
∴直角三角形三边为，，；
若为直角三角形的斜边时，则：
，
∴（负值已舍去）；
若为直角三角形的斜边时，则：
，
∴（负值已舍去）；
综上所述，的值为或．
【变式1】（20-21八年级上·上海静安·课后作业）解方程的适当方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解
【答案】D
【分析】先移项，即可发现可以提公因式，从而得出结论．
解：移项，得
∴解方程的适当方法是因式分解
故选D．
【点拨】此题考查的是解一元二次方程方法的选择，掌握因式分解法是解决此题的关键．
【变式2】（21-22九年级上·全国·课后作业）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当．
（1），应选用 法；
（2），应选用 法；
（3），应选用 法；
（4），应选用 法．
【答案】 直接开平方 配方 因式分解 公式
【分析】（1）将方程的二次项系数化为1得到，用直接开平方法求解；
（2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法；
（3）先移项，然后提出公因式，用因式分解法；
（4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法．
解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法；
（2）的两边都加上64，易配方得，故选配方法；
（3）方程，移项得，直接提公因式求解即可，故选因式分解法；
（4），二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解．
故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式
【点拨】本题考查的是解一元二次方程，根据方程的不同结构特点，选择适当的方法解方程．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2019·上海·中考真题）解分式方程：
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
解：去分母，得：，
∴，
∴，
解得：或，
经检验是增根，是原方程的解，
∴分式方程的解为．
【例2】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【答案】（1）或 （2）第三边的长是或
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．
（1）用因式分解法解即可；
（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．
解：（1）
或；
（2）当两条直角边分别为3和1时，
根据勾股定理得，第三边为；
当一条直角边为1，斜边为3时，
根据勾股定理得，第三边为．
答：第三边的长是或．
2、拓展延伸
【例1】（2024·上海·模拟预测）求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值
【答案】
【分析】本题考查了利用二次根式解方程，换元法，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，分别求出两个方程的解，再求出比值即可求解，掌握二次根式的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键．
解：由方程得，，
∴，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，
∴不合题意，舍去，
∴，
∴方程的解为；
令，则，
∴，
∴原方程变形为，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，均为原方程的解，
∴，
∴两个方程所有解的和的比．
【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根．
（1）求实数的取值范围：
（2）已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长．
【答案】(1) (2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键．
（1）由根的判别式即可得出答案；
（2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案．
解：（1）由题意得：
，
解得：；
（2）由题意可知：，
只能取或，即是方程的一个根，
将代入得：，
解得：或，
当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形；
当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形；
综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，．

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