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专题4.13 相似三角形的性质（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知， ，则与面积的比为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．（2020·河北唐山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2
4．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，平分交斜边于点D，以D为圆心，适当长度为半径画弧，交于M、N，分别以M、N为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧相交于E，作直线交于F，则（　　）
A．1 B． C． D．
5．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，点、分别为、上一点，连接、，过点作于点，过点作于点，若，，则线段的长为（）
A． B． C． D．5
6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为( )
A． B． C． D．
9．（2024·浙江金华·三模）如图，用两对全等的三角形（，）纸片和正方形纸片拼成无缝隙无重叠的纸片，连接并延长，分别交，于点，，和的面积分别为，，若为的中点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，是边上一个动点，当 时，与相似．
12．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为 ．
13．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，与相交于点，若，则 ．
14．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
15．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ．
16．（2024·辽宁丹东·三模）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．观察所得的线段，若，则 ．
17．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ．
18．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作，分别交、于点E、F，若的值为，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（20-21九年级上·安徽安庆·期末）小明同学用两块含30°的直角三角板如图放置，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，C是DE的中点．
求证：（1）AD⊥BD； （2）BD＝DE．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF； （2）若CD＝4，求AF的长．

21．（10分）（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．
（1）当动点运动时间 秒时，与相似．
（2）在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
22．（10分）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G．
（1）求证：△DFG∽△FAD；
（2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5．
①求菱形ABCD的面积；
②求CG的长．
23．（10分）（2024·内蒙古包头·三模）已知：在中，，，且点 E、F分别在矩形的边、上．
（1）如图1，当点G在上时，
①求证：；
②当，，E是的中点时，求的长；
（2）如图2，若F是的中点，与相交于点N，连接，求证：；
（3）如图3，若，，分别交于点M、N，求证：．
24．（12分）（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
动手操作
如图1，在中，∠C＝90°，将绕点A逆时针旋转90°得到．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．
思考探究
（1）∠CAF＝　 　°，∠EAG＝　 　°；
（2）若BC＝（+1）AC，则①∠DAG＝　 　°；②＝　 　，请证明你的结论；
开放拓展
（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，的面积为　 　．
试卷第1页，共3页专题4.13 相似三角形的性质（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知， ，则与面积的比为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．（2020·河北唐山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2
4．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，平分交斜边于点D，以D为圆心，适当长度为半径画弧，交于M、N，分别以M、N为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧相交于E，作直线交于F，则（　　）
A．1 B． C． D．
5．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，点、分别为、上一点，连接、，过点作于点，过点作于点，若，，则线段的长为（）
A． B． C． D．5
6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上(不与点，点重合)，，则的长为( )
A． B． C． D．
9．（2024·浙江金华·三模）如图，用两对全等的三角形（，）纸片和正方形纸片拼成无缝隙无重叠的纸片，连接并延长，分别交，于点，，和的面积分别为，，若为的中点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，是边上一个动点，当 时，与相似．
12．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为 ．
13．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，与相交于点，若，则 ．
14．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
15．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ．
16．（2024·辽宁丹东·三模）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．观察所得的线段，若，则 ．
17．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ．
18．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作，分别交、于点E、F，若的值为，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（20-21九年级上·安徽安庆·期末）小明同学用两块含30°的直角三角板如图放置，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，C是DE的中点．
求证：（1）AD⊥BD； （2）BD＝DE．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF； （2）若CD＝4，求AF的长．

21．（10分）（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．
（1）当动点运动时间 秒时，与相似．
（2）在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
22．（10分）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G．
（1）求证：△DFG∽△FAD；
（2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5．
①求菱形ABCD的面积；
②求CG的长．
23．（10分）（2024·内蒙古包头·三模）已知：在中，，，且点 E、F分别在矩形的边、上．
（1）如图1，当点G在上时，
①求证：；
②当，，E是的中点时，求的长；
（2）如图2，若F是的中点，与相交于点N，连接，求证：；
（3）如图3，若，，分别交于点M、N，求证：．
24．（12分）（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
动手操作
如图1，在中，∠C＝90°，将绕点A逆时针旋转90°得到．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．
思考探究
（1）∠CAF＝　 　°，∠EAG＝　 　°；
（2）若BC＝（+1）AC，则①∠DAG＝　 　°；②＝　 　，请证明你的结论；
开放拓展
（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，的面积为　 　．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键．
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可．
【详解】， ，
与面积之比为
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，由相似三角形的性质得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
3．A
【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝＝．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
4．B
【分析】由作图可知，，由平分，可得，则，，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故选：B．
【点拨】本题考查了作垂线，角平分线，等角对等边，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作垂线，角平分线，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．D
【分析】连接，由四边形是正方形，，可得，，而，可证，得，再证，得，，有，即可得，有，设，根据勾股定理得，可解得．
【详解】解：连接，如图∶
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
故选∶D．
【点拨】本题考查正方形性质，涉及三角形全等，相似的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
6．A
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判断与性质，过F作于G，交于H，利用正方形的性质以及等角对等边可得出，设，则，，证明，利用相似三角形的性质可求出x，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过F作于G，交于H，
，
∵正方形的边长为3，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
7．C
【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，连接，交于，作平分，交于，由矩形性质得，，进而得，，得到，，即得，得到，由平分，可得，得到，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，交于，作平分，交于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，，
故选：．
9．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．延长交于点，根据题意可证明，得到，设正方形的边长为，则，，，设，根据可推出，
进而根据勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质得到，，进而得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据求出，即可求解．
【详解】解：延长交于点，
四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，，，
设正方形的边长为，则，，，设，
，，
又，
，
整理得：，
，
，，
，
，
即，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
，
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值．
【详解】解：过点E作于点H，如下图：
∵，，，
∴，
∵是边上的高．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时， ，
当时，．
故选：A．
11．或
【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题的关键；
分类讨论或，即可解答；
【详解】，，，
当与时，
，
，
解得：；
当与时，
，
，
解得：；
综上所述：当或时，与相似．
故答案为：或
12．4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由得，，进一步推得，，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即得答案．
【详解】，
，，
，
是的中线，
，
，
是的中线，
，
，
，
，
．
13．2
【分析】本题考查了三角形重心的性质，熟练掌握和运用三角形重心的性质是解决本题的关键．
根据题意可知：点O是的重心，然后根据重心的性质即可解答．
【详解】解：在中，与相交于点，
∴分别是的中线，
∴点O是的重心，
∵，
∴
故答案为：2．
14． /30度 /
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
15．/
【分析】先证明，，，可得，，如图，过作，可得，，可得，设，则，再建立方程求解即可
【详解】解：∵等腰中，，，N为边上中点，
∴，，，
∵，
∴，，
如图，过作，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
16．/
【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．设与交于点，连接，先根据折叠的性质可得，垂直平分，，，再证出四边形是菱形，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，设与交于点，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，垂直平分，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则，
故答案为：．
17．8或
【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
．
当时，，
，
，
当时，，
，
，
以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或．
故答案为：8或．
18．
【分析】本题考查了正方形综合，涉及三角形全等的判定和性质，矩形和平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．过F作于G，证明，得到，将沿方向平移至，连接，得四边形是平行四边形，得，证点、、三点共线，过H作的垂线，交的延长线于点I，延长交的延长线于点K，得四边形为矩形，证，求出，，最后利用即可求解．
【详解】解：∵正方形的边长为2，M是的中点，
∴，，，
∴，
如图，过作于G，
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将沿方向平移至，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
过H作的垂线，交的延长线于点I，延长交的延长线于点K，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点、、三点共线，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即：，
解得：，
故答案为：．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)先证△ACB∽△AED，再证△ABD∽△ACE，可得∠ADB＝∠AEC＝90°即可；
(2)由 △ABD∽△ACE，可得,由C是DE中点，可得DE＝2CE，即可得出结论．
【详解】证明：(1)∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ACB∽△AED，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴AD⊥BD．
(2)∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
由(1)得△ABD∽△ACE，
∴，
∴BD＝2CE，
又∵C是DE中点，
∴DE＝2CE，
∴BD＝DE．
【点拨】本题考查三角形相似判定与性质，30°角直角三角形性质，线段中点定义，掌握三角形相似判定与性质，30°角直角三角形性质，线段中点定义是解题关键．
20．（1）见详解；（2）1．
【分析】（1）根据正方形的性质得出∠FED＝∠C＝90°，BC//AD，根据平行线的性质得出∠CED＝∠FDE，再根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据正方形的性质得出∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，求出CE，根据勾股定理求出DE，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC//AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE＝，
∵△ECD∽△DEF，
∴，
∴，
解得：DF＝5，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝5﹣4＝1．
【点拨】本题考查相似三角形的证明与计算，充分利用已知找到相似的条件，利用比例中项来计算．
21．(1)或
(2)当时，秒．理由见解析．
【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间．
（2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间．
【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
1）当，即时，
；
，即，
．
２）当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似．
故答案为：或．
（2）如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
22．（1）详见解析；（2）①24；②
【分析】（1）由菱形的性质判断出CD∥AB，∠A＝∠BCD，再由对称得出∠BCD＝∠DFG，得出∠A＝∠DFG，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理求出OA，进而得出AC，即可得出结论；
②先利用菱形的面积求出DF，再用勾股定理求出AH，进而得出AF，最后借助（1）的结论得出，即可求出DG，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠BCD，
由对称知，∠DFG＝∠BCD，
∴∠A＝∠DFG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDG，
∴△DFG∽△FAD；
（2）①如图，连接AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，OB＝BD＝3，AC＝2OA，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×8×6＝24；
②过点D作DH⊥AB于H，
∴S菱形ABCD＝AB DH＝5DH，
由①知，S菱形ABCD＝24，
∴5DH＝24，
∴DH＝，
在Rt△DAH中，AH＝＝＝，
由对称知，DF＝CD＝5，
∵DH⊥AF，
∴AF＝2AH＝，
由（1）知，△DFG∽△FAD，
∴，
∴，
∴DG＝，
∴CG＝DG﹣CD＝．
【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△DFG∽△FAD是解本题的关键．
23．(1)①见解析；②
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）先用同角的余角相等，判断出，即可得出，得，勾股定理求出，从而得出答案；
（2）先判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；
（3）先判断出，进而判断出，得出，进而得出，判断出，即可得出结论．
【详解】（1）解：①证明： ∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴；
②∵，E是的中点，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
在中，
∵在中，，
（2）证明：如图2，延长交延长线于点K，

∴，
由（1）知，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图3，过点G作交的延长线于P，

∴，
同（1）的方法得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，判断出，是解本题的关键．
24．（1）45，90；（2）22.5，，证明见解析；（3）
【分析】（1）由旋转的性质可得∠CAD＝∠BAE＝90°，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，可证四边形ACFD是正方形，∠EAG＝90°，可求∠CAF＝45°；
（2）①由正方形的性质可得∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AF＝AC，可求BF＝AF＝AC，可得∠FAB＝∠FBA＝22.5°，由平行线的性质可求∠DAG＝∠FBA＝22.5°，
②由平行线的性质可求∠DAG＝∠FBA＝22.5°，对顶角性质∠AGD=∠BGF，可证△ADG∽△BFG，由相似三角形的性质可求＝；
（3）由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可求AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，通过证明△ADE∽△FDA，可求AF的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．
∴∠CAD=∠BAE=90°=∠EAG，,
∴∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠ADF=180°-∠ADE=90°
∴∠CAD=∠C＝∠ADF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形，
∵AC＝AD，
∴四边形ACFD是正方形，
∵AF为对角线
∴∠CAF=45°，
故答案为：45，90；
（2）①∠DAG＝　22.5 　°；②＝　，
①∵四边形ACFD是正方形，
∴∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AF＝AC，
∵BC＝（+1）AC，
∴BF＝BC-CF=（+1）AC-AC=AC
∴BF=AF＝AC，
∴∠FAB＝∠FBA，
又∵∠CFA＝∠FAB+∠FBA=45°，
∴∠FAB＝∠FBA＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠FBA＝22.5°，
②∵∠DAG＝∠FBA＝22.5°，
∵∠AGD=∠BGF，
∴△ADG∽△BFG，
∴，
（3）∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴AB＝，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．
∴AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠E+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠E+∠EAD=∠EAD+∠FAD＝90°，
∴∠E＝∠FAD，
又∵∠ADE＝∠ADF＝90°，
∴△ADE∽△FDA，
∴，
∴，
∴AF＝，
在Rt△ACF中，
∴CF＝，
∴BF＝BC﹣CF＝4﹣＝，
∴△AFB的面积＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查旋转性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握旋转性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，会求三角形面积是解题关键．

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