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专题4.20 相似三角形几何模型分类专题（专项练习）（基础练）
【模型目录】
【模型1】平行“双A字”模型； 【模型2】平行“双8字”模型；
【模型3】“反A字”模型； 【模型4】“反8字”模型；
【模型5】“母子型”模型； 【模型6】“共边等角”模型；
【模型7】“共顶点等角”模型； 【模型8】“射影图形”模型；
【模型9】“一线三垂直”模型； 【模型10】“旋转”模型；
【模型11】“三角形内生矩形”模型； 【模型12】“矩形中的十字架”模型.
【模型1】平行“双A字”模型；
1．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M．一尺m，m，求M离地面的高度．
2．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，，则的长为_______．
【模型2】平行“双8字”模型；
3．如图，E为 ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：．
4．（2024·山东聊城·一模）如图为平行四边形的边延长线上一点，分别交，于，．
（1）求证：； （2）若，，求的长．
【模型3】“反A字”模型；
5．如图，，分别是与边上的高．
求证：．
6．（21-22九年级上·辽宁丹东·期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【模型4】“反8字”模型；
7．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在中，是的平分线，过点C的射线交的延长线于E，且，求证：
8．（23-24九年级上·全国·期末）如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度．
【模型5】“母子型”模型；
9．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，已知等腰三角形是线段上的一点，连接，且有．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
10．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，，射线交于点D，E是射线上一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）若平分，求证：．
【模型6】“共边等角”模型；
11．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，，，，．求CD的长．
12．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，中，，过点B作，过点C作．
（1）求证：；
（2）求的长．
【模型7】“共顶点等角”模型；
13．在和中，，，求证：．

14．（23-24九年级上·广东深圳·期中）在锐角三角形中，点、分别在边、上，于点，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【模型8】“射影图形”模型；
15．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，是斜边上的高．
（1）证明：∽；
（2）若，，求的长．
16．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D．
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出吗？
【模型9】“一线三垂直”模型；
17．如图，，，，，，点在上移动，以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．
18．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，正方形边长为4，M，N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直．
（1）求证：；
（2）设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当M点运动到什么位置时，求x的值．
【模型10】“旋转”模型；
19．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，在等腰中，，．将以C为中心顺时针方向旋转，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，与相交于点F．
（1）求证：． （2）求出线段的长度．
20．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，它们的斜边长为8，固定不动，绕点A旋转，、与边的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）求证：
（2）则的值为______．
【模型11】“三角形内生矩形”模型；
21．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，AD是的高．若，．求的长．
22．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．
（1）设，矩形的周长为，求关于的函数解析式；
（2）当为正方形时，求正方形的面积．
【模型12】“矩形中的十字架”模型.
23．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________．
深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：．
拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长．
24．（23-24九年级上·河南安阳·期末）【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．

（1）结合图①，完成解答过程．
（2）【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长．
（3）如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长．
试卷第1页，共3页专题4.20 相似三角形几何模型分类专题（专项练习）（基础练）
【模型目录】
【模型1】平行“双A字”模型； 【模型2】平行“双8字”模型；
【模型3】“反A字”模型； 【模型4】“反8字”模型；
【模型5】“母子型”模型； 【模型6】“共边等角”模型；
【模型7】“共顶点等角”模型； 【模型8】“射影图形”模型；
【模型9】“一线三垂直”模型； 【模型10】“旋转”模型；
【模型11】“三角形内生矩形”模型； 【模型12】“矩形中的十字架”模型.
【模型1】平行“双A字”模型；
1．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M．一尺m，m，求M离地面的高度．
2．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，，则的长为_______．
【模型2】平行“双8字”模型；
3．如图，E为 ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：．
4．（2024·山东聊城·一模）如图为平行四边形的边延长线上一点，分别交，于，．
（1）求证：； （2）若，，求的长．
【模型3】“反A字”模型；
5．如图，，分别是与边上的高．
求证：．
6．（21-22九年级上·辽宁丹东·期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【模型4】“反8字”模型；
7．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在中，是的平分线，过点C的射线交的延长线于E，且，求证：
8．（23-24九年级上·全国·期末）如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度．
【模型5】“母子型”模型；
9．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，已知等腰三角形是线段上的一点，连接，且有．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
10．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，，射线交于点D，E是射线上一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）若平分，求证：．
【模型6】“共边等角”模型；
11．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，，，，．求CD的长．
12．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，中，，过点B作，过点C作．
（1）求证：；
（2）求的长．
【模型7】“共顶点等角”模型；
13．在和中，，，求证：．

14．（23-24九年级上·广东深圳·期中）在锐角三角形中，点、分别在边、上，于点，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【模型8】“射影图形”模型；
15．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，是斜边上的高．
（1）证明：∽；
（2）若，，求的长．
16．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D．
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出吗？
【模型9】“一线三垂直”模型；
17．如图，，，，，，点在上移动，以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．
18．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，正方形边长为4，M，N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直．
（1）求证：；
（2）设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当M点运动到什么位置时，求x的值．
【模型10】“旋转”模型；
19．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，在等腰中，，．将以C为中心顺时针方向旋转，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，与相交于点F．
（1）求证：． （2）求出线段的长度．
20．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，它们的斜边长为8，固定不动，绕点A旋转，、与边的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）求证：
（2）则的值为______．
【模型11】“三角形内生矩形”模型；
21．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，AD是的高．若，．求的长．
22．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．
（1）设，矩形的周长为，求关于的函数解析式；
（2）当为正方形时，求正方形的面积．
【模型12】“矩形中的十字架”模型.
23．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________．
深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：．
拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长．
24．（23-24九年级上·河南安阳·期末）【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．

（1）结合图①，完成解答过程．
（2）【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长．
（3）如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．6
【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【详解】解：如图，过M作 而由题意可得
∵，
∴△ABM∽△DCM，
∴，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵，
∴△MDH∽△ADB，
∴
∴，
答：点M离地面的高度MH为6m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；
（1）由直接证明即可；
（2）证明，得，即可求解；
熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴的长为．
故答案为：．
3．见解析
【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出．
【详解】证明：∵ABCD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；
∵ADBC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，即．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型．
4．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，
（1）根据题意证明出，进而得到；
（2）根据题意证明出，得到，然后结合得到，然后代数求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
．
（2）解：，
，
，
由（1）知，
，
，
，，
，
或舍，
．
5．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】证明：，分别是与边上的高，
，
，
，
，
即，
，
．
6．（1），；（2）t＝3或
【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．
7．见解析
【分析】本题主要考查了角平分线性质，相似三角形判定和性质，根据是的平分线，得到，由，得到，证明，得到即可证明结论．
【详解】证明：是的平分线，
，
又，
，
又，
，
，
即．
8．6
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答．
【详解】解：，
，
∴，
，
∴，
．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求一个数的算术平方根的运用，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定方法即可求解；
（2）根据可得，则，再根据，可得，最后运用求一个数的算术平方根的方法即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理内容是解题关键．
（1）证得即可求证；
（2）通过、可推出是等腰直角三角形，进而可证，即可求解；
【详解】（1）证明：∵
∴，
∴
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴．
11．
【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质；由已知的边长可求证，由“两边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似”可判定，由相似的性质得，即可求解；掌握相似的判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故的长为．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先由垂直的定义得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明；
（2）先由勾股定理得到，再由相似三角形的性质即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴由勾股定理得
由（1）已证，
∴，
∴．
13．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键．
由，可得，由，可得，进而结论得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）此题主要考查相似三角形的判定，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据，即可得到，又因为，即可证明.
（2）此题主要考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比即可求解.
【详解】（1）证明：于点,于点
又为公共角
（2）解：,于点,于点
,,
15．(1)见解析
(2)．
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，
由是斜边上的高，得，因为，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽；
由相似三角形的性质得，因为，，所以；
适当选择相似三角形的判定定理证明∽是解题的关键．
【详解】（1）
是斜边上的高，
于点，
，
，
，
，
∽．
（2）
∽，
，
，，
，
的长是．
16．（1），，；（2），见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形；
（2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明，根据相似三角形的性质证明结论．
【详解】解：（1），，；
（2）能，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
17．8.4或2或12．
【分析】设，则，根据垂直的定义得到，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，，则；当时，，即；然后分别解方程求出即可．
【详解】解：设，则，
于，于，
，
当时，，即，
解得
；
当时，，即，
整理得，
解得，，
，，
当为8.4或2或12时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，以及求函数解析式等知识．
(1)由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似；
(2)根据三角形相似得出与x的关系，然后根据梯形的面积计算法则得出函数解析式；
(3)根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值．
【详解】（1）证明：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，即
∴
∴
（3）∵，
∴要使，必须有
由（1）知
∴
∴当点M运动到的中点时，，此时
19．(1)证明见解析
(2)线段的长度为
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和旋转的性质得到角的关系和边的关系，即可求证；
（2）利用得到对应边的比相等即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由旋转可知，，
∴，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长度为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相关概念并能灵活应用．
20．(1)见解析
(2)32
【分析】（1）由图形得，由外角定理，得，可得，根据，证明两个三角形相似；
（2）首先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又，
∴；
（2）∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴解得，
由（1）得
∴
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质,勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
21．．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
通过四边形为矩形推出，得到，可得出，再将数据代入即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵和分别是和的高，
∴，，
∴，
∵，代入可得，
解得，
∴．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、一次函数的关系式，正方形的性质．解题的关键是掌握三角形相似．
（1）根据，得，再根据相似三角形的性质即可；
（2）根据正方形的性质，得即可．
【详解】（1）解：设交于点，
矩形，
，，
，
，
关于的函数解析式为.
（2）解：当为正方形时，
，
由（1）得：，，
，
，
，
即．
正方形的面积.
23．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质和勾股定理，
（1）根据题意可证得，则有，即可求得答案；
（2）过点作于点，过点作于点，且交于点，根据矩形的性质得和，进一步证得，即有结论成立；
（3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
（2）过点作于点，过点作于点，且交于点，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
同理，，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）过点作，延长交于点，如图，
在中，，，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)证明见解析，点到直线的距离为，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）利用矩形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，．即可证明，则，即，即可求出；
（2）证明，得，即，求出，则；
（3）如图③，作于，设，则，由折叠的性质可得，进而推出，则，勾股定理得，解得，，，近而得到，在中，可由勾股定理得到．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
∴，
点到直线的距离为
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，得，即，
，
；
（3）解：如图③，作于，设，则，
将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，

，，
，
在中，，．

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