资源简介

专题4.3 成比例线段（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（ ）
A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米
2．（23-24九年级上·北京石景山·期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，且，则的值是（ ）
A．14 B．42 C．7 D．
4．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九年级下·全国·专题练习）如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列四条线段中，能与，，这三条线段组成比例线段的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
9．（2024·福建南平·一模）如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（ ）
A．或 B． C． D．
10．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（ ）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，一长方体砖块的两个面的面积比是，若将两个面分别向下放在水平地面上，则地面受到的压强之比是 ．
12．（2024九年级下·上海·专题练习）已知，，那么 ．
13．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，若，则 ．
14．（23-24九年级上·山西运城·期中）若，则的值为 ．
15．（2022·浙江·一模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ．
16．（2022·福建莆田·一模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 ．
17．（21-22九年级上·山东青岛·期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1
.3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值 ，感受这种特殊化的学习过程．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且．
（1）求线段a、b的长；
（2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
20．（8分）已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由．
21．（10分）（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？

22．（10分）（22-23八年级下·江苏苏州·期末）已知线段，点是线段的黄金分割点（），
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
23．（10分）（20-21九年级上·福建龙岩·阶段练习）五角星是同学们常见的图案，在正五角星存在黄金分割数其中量得五角星，计算，的长度．（保留两位小数）

24．（12分）阅读、操作与探究：
小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如的最简形式为）为两个连续自然数的比，具体操作如下：
如图1，中，的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点D，再过D，A两点分别作的平行线，交于点E．得到矩形，则矩形的邻边比为 ．
请仿照小亮的方法解决下列问题：
（1）如图2，已知中，，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；
（2）若已知直角三角形的三边比为（n为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为 ．

试卷第1页，共3页专题4.3 成比例线段（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（ ）
A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米
2．（23-24九年级上·北京石景山·期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，且，则的值是（ ）
A．14 B．42 C．7 D．
4．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九年级下·全国·专题练习）如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列四条线段中，能与，，这三条线段组成比例线段的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
9．（2024·福建南平·一模）如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（ ）
A．或 B． C． D．
10．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（ ）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，一长方体砖块的两个面的面积比是，若将两个面分别向下放在水平地面上，则地面受到的压强之比是 ．
12．（2024九年级下·上海·专题练习）已知，，那么 ．
13．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，若，则 ．
14．（23-24九年级上·山西运城·期中）若，则的值为 ．
15．（2022·浙江·一模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ．
16．（2022·福建莆田·一模）我们把宽与长的比为黄金比（）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 ．
17．（21-22九年级上·山东青岛·期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1
.3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值 ，感受这种特殊化的学习过程．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且．
（1）求线段a、b的长；
（2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
20．（8分）已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由．
21．（10分）（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？

22．（10分）（22-23八年级下·江苏苏州·期末）已知线段，点是线段的黄金分割点（），
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
23．（10分）（20-21九年级上·福建龙岩·阶段练习）五角星是同学们常见的图案，在正五角星存在黄金分割数其中量得五角星，计算，的长度．（保留两位小数）

24．（12分）阅读、操作与探究：
小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如的最简形式为）为两个连续自然数的比，具体操作如下：
如图1，中，的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点D，再过D，A两点分别作的平行线，交于点E．得到矩形，则矩形的邻边比为 ．
请仿照小亮的方法解决下列问题：
（1）如图2，已知中，，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；
（2）若已知直角三角形的三边比为（n为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为 ．

试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键．
根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可．
【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米．
故选：D．
2．B
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵，
∴设，（），
∴，
故选：．
3．D
【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值 ，最后把所求的代入所求的代数式即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
解得，
，
故选：D．
4．C
【分析】根据黄金分割的定义得到AC=AB，把AB=10cm代入计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC=AB，
而AB=10cm，
∴AC=×10=（5-5）cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
5．A
【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键．
【详解】解：∵线段成比例，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
6．C
【分析】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案．
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握若四条线段满足，则是成比例的线段是解题的关键．
根据成比例的线段的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，故A不符合要求；
，故B不符合要求；
，故C不符合要求；
，故D符合要求；
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①当时，得；
②当时，
则，；
综上所述，k的值为1或．
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查黄金分割，设，则，，整理得，然后解方程即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
整理得 ，，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
10．C
【分析】
根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵米，米，米
∴
∴（米）．
故选：C．
【点睛】本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了比的应用，设长方体砖块的重力为，面的面积为，面的面积为，根据压强公式求出两个面向下地面受到的压力，求出比即可求解，掌握比的运算是解题的关键．
【详解】解：设长方体砖块的重力为，
∵两个面的面积比是，
∴可设面的面积为，面的面积为，
由压强公式得，当面向下放在水平地面 上，压强，
当面向下放在水平地面上，压强，
∴，
故答案为：．
12．2
【分析】本题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．根据题意得到，将其代入中，求出值，进而得到，将，代入中求解，即可解题．
【详解】解：，，
，则，
解得：，
故，
那么．
故答案为：2．
13．
【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由可得，，，再根据可得，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵，
∴，，，
∴，
故答案为：．
15．2
【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案．
【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴舍去，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若，则是的比例中项”是解本题的关键．
16．
【分析】根据黄金矩形ABCD，得出宽与长的比为黄金比（），，，可求，根据BE为∠ABC的平分线，证出，再利用计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴其宽与长的比，，，
∴，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，解题关键是熟练掌握黄金矩形的性质、等腰三角形判定与性质等知识并利用线段和差求解．
17．/
【分析】顶角是的等腰三角形，则两底角为，这样的三角形称为黄金三角形，又、都是黄金三角形，可证BC=BD=AD，DE=DC，利用DE=DC=AC-AD=AB-BC求解．
【详解】解：根据题意可知，BC=AB，
∵顶角是的等腰三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=，
又∵也是黄金三角形，
∴∠CBD=，BC=BD，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD==∠A，
∴BD=AD，同理可证DE=DC，
∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=．
故答案为：．
【点睛】黄金三角形是较特殊的三角形，几个黄金三角形叠合在一起，可构造出若干个等腰三角形，利用等腰三角形的边相等进行代换．
18．3
【分析】本题考查了线段的比例中项，线段比例的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可知，，则．
【详解】解：当时， ，理由如下：
，，
．
故答案为：3．
19．(1)线段的长为18，线段的长为12
(2)线段的长为
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
（1）设，，代入计算可得的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得，由此即可得．
【详解】（1）解：，
设，，
，
，
，
，，
线段的长为18，线段的长为12．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为．
20．是直角三角形，理由见解析．
【分析】本题主要考查了设比例系数法和勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是设比例系数k；设，得出，再根据列出方程求出k的值，进而得出a、b、c的值，最后根据勾股定理逆定理，即可解答．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
设，
则，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
21．
【分析】根据题意，得到，代入比例式计算即可．
【详解】解：根据题意可知，，宽，，
由，
得
即
∴
开平方，得， （舍去）．
【点睛】本题考查了比例式的计算，求算术平方根，熟练掌握比例式的计算是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据黄金分割点的定义得出；
（2）根据角平分线的性质得出P到、的距离相等，可得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点（），
∴；
（2）解：∵平分，
∴P到、的距离相等，
∴，
又由（1），
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查黄金分割点的定义，角平分线的性质等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用．
23．的长度为，的长度为
【分析】可得是的黄金分割点，，设，则有，，可得，即可求解．
【详解】解：，
是的黄金分割点，
，
，
设，则有，
，
，
解得：，(舍去)，
()，
()，
答：的长度为，的长度为．
【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，理解定义，掌握解法是解题的关键．
24．；（1）；（2）．
【分析】根据题意求出与的值，即可求出矩形邻边之比；
（1）根据题中的方法画出矩形，求出矩形邻边之比即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，求出所画矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)的邻边比即可．
【详解】解：根据题意得：，
则矩形的邻边比为；
故答案为：．
（1）根据题意画出矩形，如图2所示，

∵，，，
∴矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比；
（2）解：根据题意得： ．
故答案为：．
【点睛】此题属于四边形综合题，认真阅读题中画矩形的方法，弄清题中矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)邻边之比的规律是解本题的关键．

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