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第一章　预备知识
§1　集合
1.1　集合的概念与表示
【学习目标】
1.通过实例了解与集合有关的概念(元素、集合、有限集、无限集、空集),初步掌握常用数集及集合的表示方法,发展数学抽象素养.
2.通过选用不同的方法表示一个集合,体会元素与集合之间的关系,感受集合中元素的确定性、互异性、无序性.
3.在学习集合语言的过程中,增强学生通过性质辨别不同事物的能力,并进行分类表达.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知识点一　集合的概念及元素的特征
1.集合与元素的概念:一般地,我们把指定的某些对象的　　　　称为集合,集合中的每个对象叫作这个集合的　　　　.
2.符号表示:集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示,元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作　　　　;如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作　　　　　.
3.常用的数集及其记法:
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
记法 　 　　或 　 　 　 　 　
4.集合中元素的三个特性为　　　　、　　　　、无序性.
5.空集:我们把不含任何元素的集合叫作空集,记作 .
6.含有有限个元素的集合叫作有限集;含有无限个元素的集合叫作无限集.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)中国著名的旅游景区构成一个集合. (　 )
(2)|-3| N. (　 )
(3)若a∈A,b∈A,则a≠b. (　 )
(4){a,b,c}和{c,b,a}表示同一个集合. (　 )
◆ 知识点二　集合的表示法
1.列举法:把集合中的元素一一列举出来写在　　　　　　内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2})
2.描述法:通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合为{1,-2}. (　 )
(2)函数y=-x+4的图象与坐标轴的交点组成的集合为{0,4}. (　 )
(3)集合{x∈R|-1◆ 知识点三　区间及其表示
1.区间的概念(a,b是两个实数,且a定义 符号 名称 数轴表示
{x|a≤x≤b} 　　 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a2.其他区间的表示
定义 符号 数轴表示
{x|x≥a} 　　　
{x|x>a} 　　　
{x|x≤b} 　　　
{x|x特别地,实数集R可以表示为　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“∞”表示的是一个数. (　 )
(2){x|5≥x≥1}用区间可表示为[5,1]. (　 )
(3){x|x≥1}可表示为(1,+∞]. (　 )
◆ 探究点一　集合的概念
例1 (1)(多选题)下列对象中能组成集合的是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.著名的科学家
B.中国的直辖市
C.所有的偶数
D.所有的直角三角形
(2)下列对象中能组成集合的是:①某省所有的好学校;②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点;③π的近似值;④小于5的自然数.(　 )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
[素养小结]
判断给定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
◆ 探究点二　元素与集合的关系
例2 (1)下列表示正确的是 (　 )
A.0∈N* B.∈Z
C.π∈Q D.∈R
(2)(多选题)下列关系中正确的是 (　 )
A.2 {x|x<}
B.1∈
C.4∈{x|x=n2+1,n∈N+}
D.(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1}
变式 (1)(多选题)下列结论正确的是 (　 )
A.∈Q B. Q
C.-1∈N+ D.-5∈Z
(2)已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的数组成的,请判断是否为集合A中的元素.
[素养小结]
判断一个对象是不是某集合中的元素,首先要明确已知集合中的元素具有怎样的特征,即集合中的元素要符合哪些表达式或满足哪些条件,然后再判断此对象是否也具有这种特征,从而确定该对象与已知集合的关系.
◆ 探究点三　集合中元素特性的简单应用
例3 (1)(多选题)设集合A={-1,1+a,a2-2a+5},若4∈A,则a的值可能为 (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.3
(2)已知集合A={a1,a2,a3,a4},且a1,a2,a3,a4均为正数,则以a1,a2,a3,a4为边长构成的四边形可能是 (　 )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
变式 由实数x,-x,|x|,,-组成的集合最多有 (　 )
A.3个元素 B.2个元素
C.4个元素 D.5个元素
[素养小结]
集合中的元素应具有确定性、互异性和无序性,在解决与参数相关的问题时,一定要确保参数的值满足集合中元素的互异性,否则应舍去.
◆ 探究点四　集合的表示法
例4 用适当的方法表示下列集合,并指明是无限集、有限集还是空集.
(1)满足不等式2x-1>3x的解组成的集合;
(2)由方程x2+x+1=0的实数解组成的集合;
(3)由一次函数y=-x+3与y=2x+6的图象的交点组成的集合;
(4)不大于10的正偶数组成的集合.
变式 用适当的方法表示下列集合.
(1)大于2且小于6的自然数组成的集合P;
(2)方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合;
(3)大于4且不大于5的实数组成的集合.
[素养小结]
(1)用列举法表示集合应注意:
①弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素.
②若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
(2)利用描述法表示集合应注意:
①写清楚该集合的代表元素.
②在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.
1.1　集合的概念与表示
【课前预习】
知识点一
1.全体　元素　2.a∈A　a A
3.N　N+　N*　Z　Q　R　R+　4.确定性　互异性
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)不满足集合元素的确定性,错误.
(2)|-3|=3∈N,错误.
(3)集合中的元素满足互异性,正确.
(4)集合中的元素满足无序性,正确.
知识点二
1.花括号“{}”
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)方程的根是实数,所以此集合为数集,正确.
(2)函数图象与坐标轴的交点为点,所以此集合为点集,故组成的集合为{(0,4),(4,0)}.
(3)集合{x∈R|-1知识点三
1.[a,b]　(a,b)　[a,b)　(a,b]
2.[a,+∞)　(a,+∞)　(-∞,b]　(-∞,b)　(-∞,+∞)
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)“∞”是一个符号,不是一个数,以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.
(2)用区间[a,b]表示集合时,必须满足a(3){x|x≥1}应表示为[1,+∞).
【课中探究】
探究点一
例1　(1)BCD　(2)C　[解析] (1)选项A中的对象没有一个明确的判定标准,而选项B,C,D中的对象都有一个明确的判定标准,所以选项B,C,D中的对象可以组成集合.故选BCD.
(2)①某省所有的好学校不具有确定性,不能组成集合;②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点,可以组成集合;③π的近似值不具有确定性,不能组成集合;④小于5的自然数有0,1,2,3,4,能组成集合.②④符合条件,故选C.
探究点二
例2　(1)D　(2)AD　[解析] (1)对于A,0既不是正数也不是负数,N*表示正整数集,故A错误;对于B,Z表示整数集,不是整数,故B错误;对于C,Q表示有理数集,π是无理数,故C错误;对于D,R表示实数集,是实数,故D正确.故选D.
(2)2=>,故A正确;空集是不含任何元素的集合,则1 ,故B错误;假设4∈{x|x=n2+1,n∈N+},则4=n2+1,可得n=±,与n∈N+矛盾,故假设不成立,4 {x|x=n2+1,n∈N+},故C错误;{(x,y)|y=2x+1}中含有(1,3),故D正确.故选AD.
变式　(1)ABD　[解析] 因为-1不属于正整数,所以选项C错误,易知其他选项都正确,故选ABD.
(2)解:因为=2+,且2,1∈Z,所以∈A,故为集合A中的元素.
探究点三
例3　(1)CD　(2)D　[解析] (1)因为集合A={-1,1+a,a2-2a+5},4∈A,所以1+a=4或a2-2a+5=4.若1+a=4,则a=3,此时A={-1,4,8},符合题意;若a2-2a+5=4,则a=1,此时A={-1,2,4},符合题意.所以a=3或a=1,故选CD.
(2)根据集合中元素的互异性可知,构成的四边形的四条边的长度互不相等,其中平行四边形、矩形和菱形对边的长度均相等,不符合要求,梯形的四条边的长度可能互不相等,故构成的四边形可能为梯形.故选D.
变式　B　[解析] 当x=0时,x=-x=|x|==-=0,组成的集合中只有1个元素0;当x>0时,|x|=x,=x,-=-x,组成的集合中只有2个元素,即x和-x;当x<0时,|x|=-x,=-x,-=-x,组成的集合中只有2个元素,即x和-x.所以由实数x,-x,|x|,,-组成的集合最多有2个元素.故选B.
探究点四
例4　解:(1)由2x-1>3x,得x<-1,则该不等式的解有无数个,所以用描述法可以表示为{x|x<-1},是无限集.
(2)因为Δ=1-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0不存在实数解,即该集合为空集.
(3)由解得所以由一次函数y=-x+3与y=2x+6的图象的交点组成的集合为{(-1,4)},是有限集.
(4)不大于10的正偶数有有限个,可用列举法表示为{2,4,6,8,10},是有限集.
变式　解:(1)大于2且小于6的自然数有3,4,5,所以集合P可以表示为{3,4,5}.
(2)方程(x-1)2(x-2)=0的解为x=1,x=2,所以方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可以表示为{1,2}.
(3)大于4且不大于5的实数组成的集合可以表示为{x|4

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