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1.2　集合的基本关系
【学习目标】
1.了解集合之间的包含、相等关系的含义.
2.理解子集、真子集的概念.
3.能利用Venn图表达集合间的关系.
【课前预习】
◆ 知识点一　子集
1.子集:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集,记作　　　　(或　　　　),读作“A　　　　　B”(或“B　　　　A”).
2.子集的性质:
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即　　　　.
(2)规定:空集是任何集合的子集.也就是说,对于任意一个集合A,都有　　　　.
3.Venn图:为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.如A B,可用Venn图(如图)表示.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A B,且B C,则A C. (　 )
(2)若A B,则集合A是由集合B的部分元素组成的. (　 )
(3){0} Z, {1,2}. (　 )
◆ 知识点二　集合相等
1.定义:对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B.
2.表示:可用Venn图(如图)表示.即对于两个集合A与B,若A B,且B A,则A=B.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若x∈A且x∈B,则A=B. (　 )
(2){2,7}={(2,7)}. (　 )
◆ 知识点三　真子集
1.真子集:对于两个集合A与B,如果　　　,且　　　　,那么称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A),读作“A　　　　　B”(或“B　　　　　A”).可用Venn图(如图)表示.
2.集合的基本关系(如图):
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A B,则集合A,B都是非空集合. (　 )
(2){x|x>3} {x|x≥3}. (　 )
(3)当A B时,A B一定成立. (　 )
【课中探究】
◆ 探究点一　判断集合之间的关系
例1 (1)下列表示集合M={1,-1,2,-2}和集合N={x|x2-4=0}关系的Venn图中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A B C D
(2)已知集合P={x|y=},集合Q={y|y=},则P与Q的关系是 (　 )
A.P=Q B.P Q
C.Q P D.Q P
(3)(多选题)已知集合A={x|x>2},B={x|x>3},则下列说法中正确的是 (　 )
A.存在x∈A,使x B
B.对于任意的x∈A,都有x∈B
C.A B
D.B是A的真子集
变式 判断下列各组中两个集合之间的关系.
(1)集合A={-1,1}与B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)集合A={x|-1(3)集合A={x|x是等边三角形}与B={x|x是等腰三角形};
(4)集合M={x|x=2n-1,n∈N*}与N={x|x=2n+1,n∈N*};
(5)集合A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}与B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}.
[素养小结]
判断集合间关系的方法:
(1)用定义判断.(2)结合数轴判断.(3)用Venn图判断.
◆ 探究点二　确定有限集合的子集、真子集
[提问] 当所给集合中元素的个数较少时,求其子集(或真子集)的个数可采用什么方法


例2 已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={0,1,2,3,4},写出满足A C B的集合C.
变式1 若集合A={x∈Z|mA.[-1,0) B.(-1,0]
C.(-1,0) D.[-1,0]
变式2 设Y是由6的所有正约数组成的集合,写出集合Y的所有子集.
[素养小结]
1.对于含有有限个元素的集合,求该集合的子集或真子集时,有三个关键点:
(1)确定该集合;
(2)合理分类;
(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.
2.非空集合(元素个数为n)的子集的个数为2n.
拓展 已知集合A={x|x≤2,x∈N},若B A且B≠A,则满足条件的集合B的个数为 (　 )
A.3 B.4 C.7 D.8
◆ 探究点三　由集合的基本关系求参数
例3 (1)设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若M N,则k的取值范围是 (　 )
A.k≤2 B.k≥2
C.k>-1 D.k≤-1
(2)设集合A={x|x2-9x+14=0},B={x|ax-1=0},若B A,则实数a的值组成的集合C=　　　　　　.
(3)已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
变式 已知a>0,集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x≤3,或x≥4}.若A B,则实数a的取值范围是　　　　.
[素养小结]
根据集合的关系求参数的值或取值范围时, 需要把集合语言转换为方程或不等式,然后灵活应用解方程的方法或利用数形结合求解.要特别注意考虑 是否满足题意.
拓展 已知集合A={x|ax=1},B={x|x2+3x-4=0},是否存在实数a,使B A成立 并说明理由.
1.2　集合的基本关系
【课前预习】
知识点一
1.A B　B A　包含于　包含　2.(1)A A　(2) A
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)如图,利用Venn图可知正确.
(2)集合A也可以是空集,所以错误.
(3)因为0∈Z,空集是任何集合的子集,所以{0} Z, {1,2},正确.
知识点二
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)如A={1,2},B={2,3},满足2∈A,2∈B,但A≠B,错误.
(2)集合{2,7}是数集,含有两个元素2,7,集合{(2,7)}是点集,含有一个元素(2,7),错误.
知识点三
1.A B　A≠B　真包含于　真包含
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)A可以是空集,但集合B一定是非空集合.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)B　(2)B　(3)AD　[解析] (1)集合M={1,-1,2,-2},集合N={2,-2},所以N是M的真子集.故选B.
(2)因为P={x|y=},所以x-1≥0,即x≥1,故P=[1,+∞).因为Q={y|y=},且y=≥0,所以Q=[0,+∞).则P Q,因此A,C,D错误,B正确.
(3)当x=时,满足x∈A,x B,所以A正确,B不正确;由A={x|x>2},B={x|x>3},可得B A,且B是A的真子集,所以C不正确,D正确.故选AD.
变式　解:(1)集合A中的元素表示实数,集合B中的元素表示有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)由题意知,集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A B.
(4)集合M是正奇数组成的集合,包含元素“1”,集合N是大于或等于3的正奇数组成的集合,不包含元素“1”,故N M.
(5)因为对于任意的k1∈Z,有k1=2×(-k1)+3k1∈A,所以A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}=Z.
因为对于任意的k2∈Z,有k2=4k2-3k2∈B,所以B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}=Z,所以A=B=Z.
探究点二
提问 解:列举法.
例2　解:由题知A={1,3},B={0,1,2,3,4},因为A C B,所以C一定含有元素1,3,故满足A C B的集合C为{1,3},{1,3,0},{1,3,2},{1,3,4},{1,3,0,2},{1,3,0,4},{1,3,2,4},{1,3,0,2,4},共8个.
变式1　A　[解析] 因为集合A有15个真子集,所以集合A中有4个元素,所以-1≤m<0,即实数m的取值范围为[-1,0).故选A.
变式2　解:因为6的正约数为1,2,3,6,所以集合Y={1,2,3,6},所以集合Y的子集为 ,{1},{2},{3},{6},{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6},{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6},{1,2,3,6},共16个.
拓展　C　[解析] 集合A={x|x≤2,x∈N}={0,1,2},因为B A且B≠A,所以集合B为 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},所以满足条件的集合B的个数为7.故选C.
探究点三
例3　(1)B　(2)　[解析] (1)由题意知N={x|x≤k},∵M N,M={x|-1≤x<2},∴k≥2.故选B.
(2)由x2-9x+14=0,解得x=2或x=7,所以集合A={x|x2-9x+14=0}={2,7}.当a=0时,方程ax-1=0无解,则B={x|ax-1=0}= ,满足题意;当a≠0时,由ax-1=0,解得x=,所以=2或=7,解得a=或a=.综上所述,实数a的值组成的集合C=.
(3)由A=B,可得或解得或或
当x=0,y=0时,集合A,B中的元素不满足互异性,舍去.
所以或
变式　(0,2]　[解析] 因为A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x≤3,或x≥4},A B,且a>0,所以1+a≤3或1-a≥4,可得0拓展　解:不存在满足题意的实数a.因为集合B={1,-4},而集合A中无论a取什么值,集合A要么是空集,要么是只含有一个元素的集合,所以仅从元素的个数就可判断B A不可能成立.

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