资源简介

第2课时　集合的基本运算(二)—— 全集与补集
【学习目标】
1.在具体情境中,了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
3.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
◆ 知识点　全集与补集
1.全集的概念:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号　　　　表示.
2.补集的概念:
定义 设U是全集,A是U的一个子集(即A U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集
符号表示 记作 UA,即 UA=　　　　　　　
图形表示
3.补集的性质:
(1)A∪( UA)=　　　,A∩( UA)=　　　.
(2) U( UA)=　　　, UU=　　　, U =　　　.
(3) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA) ∩( UB).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若全集U={1,2,3,4},集合A={2,3,4},则 UA=1. (　 )
(2)若集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5},C={3},则 AB={2,4}, BC={1,2,4,5}. (　 )
(3)若集合A={1,3,5}, UA={2,4},则U={1,2,3,4,5}. (　 )
◆ 探究点一　补集的运算　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)已知集合U={0,1,2,3,4,5},M={3,4,5},则 UM= (　 )
A.{0,1,2,3,4,5} B.{0,1,2}
C.{3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
(2)已知集合A=(1,+∞),则 RA= (　 )
A.(-∞,1] B.(-∞,1)
C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)
(3)已知全集U={x|x是实数},A={x|x是有理数},则 UA=　　　　　　　.
[素养小结]
求集合补集的方法:(1)定义法:当集合是由列举法表示时,可利用定义直接求解.(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出补集.(3)数轴法:当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴求解,但需注意端点能否取到.
◆ 探究点二　交集、并集、补集的混合运算
例2 已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2A∪( RB).
变式 (1)设全集U={x∈N|x≤4},集合A={1,2},B={2,3},则( UA)∩( UB)= (　 )
A.{0,4} B.{4}
C.{1,2,3} D.
(2)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,4,8},B={2,4,5,6},则图中阴影部分所表示的集合是 (　 )
A.{2,5} B.{4,6}
C.{2,5,6} D.{1,3,8}
[素养小结]
交集、并集、补集的综合运算问题的解法:(1)对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.(2)对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,解答过程中注意端点值的取舍.
◆ 探究点三　由补集运算求参数
例3 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2变式 (1)设全集U={1,2,3,4},集合M={x∈U|x2-5x+p=0},若 UM={1,4},则p的值为 (　 )
A.-4 B.4
C.-6 D.6
(2)(多选题)[2024·河南济源高级中学高一月考] 已知全集U=R,集合A={x|x≤a},集合B={x|x<1},则下列说法中正确的是 (　 )
A.若B∪( UA)=R,则实数a的取值范围是(-∞,1)
B.若B∪( UA)=R,则实数a的取值范围是(-∞,1]
C.若B∩( UA)= ,则实数a的取值范围是(1,+∞)
D.若B∩( UA)= ,则实数a的取值范围是[1,+∞)
[素养小结]
根据补集的运算结果求参数的值或取值范围时,关键是利用补集的定义,即补集 UA中的元素在全集中不在集合A中,列方程(组)求解.但要注意分类讨论并检验所得结果是否保证U是全集、是否满足集合中元素的互异性.
第2课时　集合的基本运算(二)—— 全集与补集
【课前预习】
知识点
1.U　2.{x|x∈U,且x A}
3.(1)U　 　(2)A　 　U
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)补集也是集合之间的一种运算,其结果也是集合形式,所以(1)错误.
(2) BC所对应的全集是集合B,而不是集合A,所以 BC={1,5},所以(2)错误.
(3)根据补集与全集的定义可知(3)正确.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)B　(2)A　(3){x|x是无理数}　[解析] (1)因为集合U={0,1,2,3,4,5},M={3,4,5},
所以 UM={0,1,2},故选B.
(2)由集合A=(1,+∞),得 RA=(-∞,1].故选A.
(3)因为实数包含有理数和无理数,所以 UA={x|x是无理数}.
探究点二
例2　解:因为集合A={x|3≤x<7},B={x|2所以 R(A∩B)={x|x<3,或x≥7}.
因为A={x|3≤x<7},所以 RA={x|x<3,或x≥7},
所以( RA)∩B={x|2因为B={x|2所以A∪( RB)={x|x≤2,或3≤x<7,或x≥10}.
变式　(1)A　(2)C　[解析] (1)∵全集U={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4},∴ UA={0,3,4},
UB={0,1,4},∴( UA)∩( UB)={0,4}.
(2)由题图可知,图中阴影部分所表示的集合为( UA)∩B,因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,4,8},B={2,4,5,6},故 UA={2,5,6,7},则( UA)∩B={2,5,6},故选C.
探究点三
例3　解:方法一:由A={x|x+m≥0}={x|x≥-m},
得 UA={x|x<-m}.
因为B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2,故实数m的取值范围是[2,+∞).
方法二:由( UA)∩B= 可知B A,因为B={x|-2所以-m≤-2,即m≥2,故实数m的取值范围是[2,+∞).
变式　(1)D　(2)AD　[解析] (1)∵全集U={1,2,3,4}, UM={1,4},∴集合M={x∈U|x2-5x+p=0}={2,3},∴方程x2-5x+p=0的两个根为2和3,则p=2×3=6.故选D.
(2)因为全集U=R,集合A={x|x≤a},所以 UA={x|x>a}.又集合B={x|x<1},所以若B∪( UA) =R,则实数a的取值范围是(-∞,1);若B∩( UA)= ,则实数a的取值范围是[1,+∞),故选AD.

展开更多......

收起↑