资源简介

2.2　全称量词与存在量词
第1课时　全称量词命题与存在量词命题
【学习目标】
1.掌握常用的全称量词和存在量词及其含义.
2.掌握全称量词命题和存在量词命题的概念,并能准确判断真假.
◆ 知识点一　全称量词命题
1.全称量词命题:在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.
2.全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“　　　　”表示,读作“对任意的”.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“平行四边形的对角线互相平分”是全称量词命题. (　 )
(2)“能被6整除的数也能被3整除”是全称量词命题. (　 )
(3)“至少有一个实数x,使得|x|=4”是全称量词命题. (　 )
(4)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. (　 )
2.全称量词命题中一定含有全称量词吗
◆ 知识点二　存在量词命题
1.存在量词命题:在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
2.存在量词:在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符号“　　　”表示,读作“存在”.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“有些自然数是偶数”是存在量词命题. (　 )
(2)“存在一个菱形,它的四条边不相等”是存在量词命题. (　 )
(3)“对每一个无理数x,x2也是无理数”是存在量词命题. (　 )
(4)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. (　 )
2.怎样判定一个存在量词命题的真假
◆ 探究点一　全称量词命题与存在量词命题的判断与表示
例1 (1)判断下列给出的命题是全称量词命题,还是存在量词命题 并指出其中的量词.
①存在一个实数,它的绝对值不是正数;
②对任何实数a,方程ax2+x+1=0都有解;
③在平面直角坐标系中,每一个有序实数对(x,y)都对应一个点;
④有一个质数是偶数.
(2)将下列命题用“ ”或“ ”表示.
①实数的平方是非负数;
②方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负实根;
③有一个有理数x满足x2=3.
变式 (多选题)[2024·陕西西安庆安高级中学高一月考] 下列命题是存在量词命题的是 (　 )
A.能被5整除的整数都是偶数
B.有的偶数是质数
C.梯形的对角线相等
D.某些平行四边形不是菱形
[素养小结]
全称量词命题的判断:常用的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”等,只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.
存在量词命题的判断:常用的存在量词有“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”等,只要含有这些量词,或者命题具有存在量词所表达的含义,就是存在量词命题.
◆ 探究点二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 (多选题)下列命题中,为真命题的是 (　 )
A. x∈R,有x2>0
B.空集是任何一个非空集合的真子集
C. x∈{-2,-1,0,1,2},使|x-2|<2
D. a∈R,方程ax+1=0恰有一解
变式 (多选题)下列命题中为真命题的是 (　 )
A. x∈R,有x3≥0
B. x∈Z,有|x|∈N
C. x∈Z,使x2+x为奇数
D. x∈N,使x3<1
[素养小结]
(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x证明其具有性质p(x),但要判定全称量词命题为假命题,只要能举出集合M中的一个x不具有性质p(x)即可,这就是通常所说的“举一个反例”;
(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中能找到一个x具有性质p(x)即可,否则这个存在量词命题就是假命题.
◆ 探究点三　由含量词的命题的真假求参数的范围
例3 (1)若“ x∈[1,2],有x2+2x-a<0”是真命题,求实数a的取值范围.
(2)若“ x∈[1,2],使x2+2x-a<0”是真命题,求实数a的取值范围.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)[2024·辽宁部分学校高一期中] 若“ x∈(-∞,a],使x2=2”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
(2)已知“ x∈[1,2],使2x-1≥m”是真命题,则实数m的最大值是　　　　.
[素养小结]
由含量词的命题的真假求参数取值范围的策略:
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式,确定参数的取值范围;
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.
2.2　全称量词与存在量词
第1课时　全称量词命题与存在量词命题
【课前预习】
知识点一
2.
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)是指“所有平行四边形的对角线都互相平分”,是全称量词命题.
(2)是指“所有能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题.
(3)中没有“所有”的意思.
(4)根据全称量词命题的定义可知其正确.
2.解:不一定,如“三角形的内角和等于180°”.
知识点二
2.
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)(2)均含有存在量词,是存在量词命题.(3)中“每一个”为全称量词,它是全称量词命题.(4)根据存在量词命题的定义可知其正确.
2.解:要判定一个存在量词命题是真命题,只需在给定的集合中找到一个元素,使命题为真即可.如果在给定的集合中,使命题为真的元素不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)①为存在量词命题,“存在”是存在量词;
②为全称量词命题,“任何”是全称量词;
③为全称量词命题,“每一个”是全称量词;
④为存在量词命题,“有一个”是存在量词.
(2)① x∈R,有x2≥0;
② x<0,使ax2+2x+1=0(a<1);
③ x∈Q,使x2=3.
变式　BD　[解析] A,C中命题是全称量词命题,B,D中命题是存在量词命题.故选BD.
探究点二
例2　BC　[解析] 对于A,当x=0时,x2=0,故A是假命题;对于B,空集是任何一个非空集合的真子集,B是真命题;对于C,存在x=1,使|x-2|<2,故C是真命题;对于D,当a=0时,方程ax+1=0无解,故D是假命题.故选BC.
变式　BD　[解析] 对于A,当x=-1时,x3=-1<0,A是假命题;对于B, x∈Z,有|x|∈N,B是真命题;对于C,当x∈Z时,因为x2+x=x(x+1),x,x+1中必有一个是偶数,所以x2+x=x(x+1)为偶数,故不存在x∈Z,使x2+x为奇数,C是假命题;对于D,当x=0时,x3<1,故存在x∈N,使x3<1,D是真命题.故选BD.
探究点三
例3　解:(1)当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8.因为当x∈[1,2]时,x2+2x-a<0恒成立,所以a>(x2+2x)max=8,故实数a的取值范围为a>8.
(2)当1≤x≤2时,3≤x2+2x≤8,因为存在x∈[1,2],使x2+2x-a<0成立,所以a>(x2+2x)min=3,故实数a的取值范围为a>3.
变式　(1)a<-　(2)3　[解析] (1)由x2=2,解得x=-或x=,又“ x∈(-∞,a],使x2=2”是假命题,所以a<-.
(2)当x∈[1,2]时,2x-1∈[1,3],由题意可得m≤3,即实数m的最大值是3.

展开更多......

收起↑