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第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
3.会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假.
◆ 知识点一　全称量词命题的否定
全称量词命题p p的否定 结论
x∈M,x具有性质p(x) 　　　　 　　　　 全称量词命题的否定是　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“ x∈R,有x2+x+1>0”的否定是“ x∈R,使x2+x+1≤0”. (　 )
(2)命题“ x≤0,有x+1≤1”的否定是“ x>0,使x+1>1”. (　 )
◆ 知识点二　存在量词命题的否定
存在量词命题p p的否定 结论
x∈M,x具有性质p(x) 　　　　　 　　　　　 存在量词命题的否 定是　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“ x∈R,使x>1”的否定是“ x∈R,有x≤1”. (　 )
(2)命题“ x>0,使x2-2x-3=0”的否定是“ x≤0,有x2-2x-3≠0”. (　 )
◆ 探究点一　全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定:
(1)所有能被3整除的整数都是奇数;
(2)每一个四边形的四个顶点都共圆;
(3)对任意的x∈Z,x2的个位数字都不等于3.
变式 (1)命题“ x∈R,有x2≠x”的否定是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. x R,使x2≠x
B. x∈R,有x2=x
C. x∈R,使x2≠x
D. x∈R,使x2=x
(2)[2024·西藏林芝二中高一期中] 命题“ x∈R,有x≥2x+1”的否定是 (　 )
A. x∈R,有x<2x+1
B. x∈R,使x≤2x+1
C. x∈R,有x≤2x+1
D. x∈R,使x<2x+1
[素养小结]
写出全称量词命题的否定有两个关键点:(1)找出全称量词命题中的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到了命题的否定.(2)有些全称量词命题省略了全称量词,在这种情况下,千万不要只将否定写成“是”或“不是”.
◆ 探究点二　存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p: x∈R,使2x+1≥0;
(2)q: x∈R,使x2-x+<0;
(3)r:有些分数不是有理数.
变式 (1)[2024·安徽江淮十校高一检测] 命题“ x∈(-1,1),使x2+2x≤1”的否定是 (　 )
A. x (-1,1),使x2+2x≤1
B. x (-1,1),使x2+2x≥1
C. x∈(-1,1),有x2+2x>1
D. x∈(-1,1),有x2+2x≥1
(2)命题“关于x的方程ax2-x-2=0在(0,+∞)上有解”的否定是 (　 )
A. x∈(0,+∞),使ax2-x-2≠0
B. x∈(0,+∞),有ax2-x-2≠0
C. x∈(-∞,0),使ax2-x-2=0
D. x∈(-∞,0),有ax2-x-2=0
[素养小结]
写出存在量词命题的否定有两个关键点:(1)先确定它的存在量词和结论,然后再把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到了存在量词命题的否定.(2)注意对不同的存在量词的否定的写法,例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
◆ 探究点三　由全称量词命题与存在量词命题真假求参数的范围
例3 若命题“ x∈R,有x2-4x+a≠0”为假命题,求实数a的取值范围.
变式 (1)若“ x∈R,使|x|+m<0”是假命题,则实数m的取值范围是　　　　.
(2)[2024·山东平邑一中高一月考] 若命题“ x∈[-1,2],使x-a>0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
[素养小结]
已知全称量词命题、存在量词命题为假求参数范围的问题,通常先写出该命题的否定,再利用该命题的否定为真,将其转化为最值问题来求解.
第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
【课前预习】
知识点一
x∈M,x不具有性质p(x)　存在量词命题
诊断分析
(1)√　(2)×　[解析] (1)正确;(2)错误,其否定为“ x≤0,使x+1>1”.
知识点二
x∈M,x不具有性质p(x)　全称量词命题
诊断分析
(1)√　(2)×　[解析] (1)正确;(2)错误,其否定为“ x>0,有x2-2x-3≠0”.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(3)存在x∈Z,使得x2的个位数字等于3.
变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)命题“ x∈R,有x2≠x”的否定是“ x∈R,使x2=x”.故选D.
(2)命题“ x∈R,有x≥2x+1”的否定为“ x∈R,使x<2x+1”.故选D.
探究点二
例2　解:(1)p的否定是“ x∈R,有2x+1<0”,p的否定是假命题.
(2)q的否定是“ x∈R,有x2-x+≥0”,
∵x2-x+=≥0,∴q的否定是真命题.
(3)r的否定是“所有的分数都是有理数”,r的否定是真命题.
变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)命题“ x∈(-1,1),使x2+2x≤1”的否定是“ x∈(-1,1),有x2+2x>1”.故选C.
(2)因为原命题即为“ x∈(0,+∞),使ax2-x-2=0”,所以其否定为“ x∈(0,+∞),有ax2-x-2≠0”,故选B.
探究点三
例3　解:由命题“ x∈R,有x2-4x+a≠0”为假命题,得命题“ x∈R,使x2-4x+a=0”为真命题,
所以Δ=16-4a≥0,解得a≤4,
所以实数a的取值范围为(-∞,4].
变式　(1)[0,+∞)　(2)[2,+∞)　[解析] (1)由题易知“ x∈R,有|x|+m≥0”是真命题.因为|x|≥0,所以只需m≥0,即实数m的取值范围是[0,+∞).
(2)“ x∈[-1,2],使x-a>0”是假命题,则“ x∈[-1,2],有x-a≤0”是真命题,所以当x∈[-1,2]时,a≥x恒成立,所以a≥2,即实数a的取值范围是[2,+∞).

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