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§3　不等式
3.1　不等式的性质
【学习目标】
1.通过具体情境,感受、理解不等关系在现实生活中是普遍存在的.
2.掌握不等式的基本性质,运用基本性质比较两个实数的大小,掌握证明不等式的基本方法“作差法”.
◆ 知识点一　不等关系基本事实
关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实:
如果a-b是正数,那么a>b;
如果a-b等于0,那么a=b;
如果a-b是负数,那么a这个基本事实可以表示为a>b a-b>0;
a=b a-b=0;a◆ 知识点二　不等式的性质
序号 别名 性质内容 注意
1 传递性 a>b,b>c a>c 不可逆
2 可加性 a>b a+c　　　　b+c 可逆
3 可乘性 a>b,c>0 ac　　　bc c的符号
a>b,c<0 ac　　　bc
4 同向可加性 a>b,c>d a+c　　　　b+d 不可逆
(续表)
序号 别名 性质内容 注意
5 同向正值 可乘性 a>b>0,c>d>0 ac　　　　bd 不可逆
a>b>0,c6 可开方性 a>b>0 > n∈N+,n≥2
特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a>b,c>d,则a-c>b-d. (　 )
(2)若a>b,c>d,则ac>bd. (　 )
(3)若b>0,且>1,则a>b. (　 )
◆ 探究点一　比较大小
例1 (1)[2024·中央民族大学附中高一月考] 设a=,b=3-,则a 　　　b.(填“>”或“<”)
(2)已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 已知a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
[素养小结]
作差法比较两个实数(或代数式)的大小的一般步骤为作差、变形、判断符号、得到结论.这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.其中变形的方法技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.若变形后所得式子的符号不能确定,则需要通过分类讨论来进行大小的比较.
◆ 探究点二　不等式性质的应用
例2 (1)若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.a+cbc
C.>0 D.(a-b)c2≥0
(2)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:>.
变式 (1)(多选题)[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 已知a,b,c,d都是正数,且a>b,c>d,则下列关系式中正确的有 (　 )
A.a-cB.a+c>b+d
C.<
D.<
(2)已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,求证:>.
[素养小结]
利用不等式的性质进行不等式的证明,常用方法有两种:一是通过作差、变形、判断符号来证明;二是从条件出发,结合不等式的性质,不断变形构造出所证不等式.
◆ 探究点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 已知-1(1)求x-y的取值范围;
(2)求3x+2y的取值范围.
变式 (多选题)[2024·河南济源高级中学高一月考] 设x,y为实数,满足2≤x≤5,1A.3≤x+y≤8 B.2C.-1≤x-y<4 D.<≤5
[素养小结]
在应用不等式的性质求范围时要注意,同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大取值范围.有时需建立待求代数式的整体与已知代数式的整体之间的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,从而求得待求代数式的取值范围.
§3　不等式
3.1　不等式的性质
【课前预习】
知识点二
>　>　<　>　>　<
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)取a=3,b=2,c=-1,d=-3,满足a>b,c>d,但a-c(2)取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则a>b,c>d,但ac(3)∵b>0,>1,∴·b>b,即a>b,故(3)正确.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)>　[解析] ∵===>=1,b>0,∴a>b.
(2)解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),
∵x2-x+1=+≥>0,
∴当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;
当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;
当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.
变式　B　[解析] a-b=+-,且(+)2=5+2>7,故a>b;a-c=2-且(2)2=8>6,故a>c;b-c=(+)-(+)且(+)2=9+2>9+2=(+)2,故c>b.所以a>c>b,故选B.
探究点二
例2　(1)D　[解析] 因为a>b,所以a+c>b+c,故A不成立;当c=0时,ac=bc=0,故B不一定成立;当c=0时,=0,故C不一定成立;因为a>b,所以a-b>0,又c2≥0,所以(a-b)c2≥0,故D一定成立.故选D.
(2)证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,
a-c>b-c>0,则(a-c)(b-c)>0,则>0,
所以·(a-c)>·(b-c)>0,
即>>0.
又c<0,所以>.故得证.
变式　(1)BCD　[解析] 对于A选项,当a=4,b=1,c=2,d=1时满足已知条件,但此时a-c>b-d,A选项错误;对于B选项,由不等式的同向可加性及a>b,c>d,可得a+c>b+d,B选项正确;对于C选项,由a>b>0,c>d>0,可得ac>bd>0,所以<,C选项正确;对于D选项,由a>b>0,c>d>0,可得(b+c)(b+d)>0,(a+c)(b+d)-(b+c)(a+d)=ad+bc-bd-ac=(a-b)(d-c)<0,所以>0,0<(a+c)(b+d)<(b+c)(a+d),得<,D选项正确.故选BCD.
(2)证明:-=.
∵>且a,b∈(0,+∞),∴b>a>0.
又∵x>y>0,∴bx>ay>0,x+a>0,y+b>0,
∴>0,∴>.
探究点三
例3　解:(1)因为-1(2)由-1变式　BC　[解析] 因为2≤x≤5,1

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